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Resolución de integrales/ cos(x)/ (-16/12)*(cos(x))^4

Integral de (-16/12)*(cos(x))^4 dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
 2*pi             
   /              
  |               
  |        4      
  |  -4*cos (x)   
  |  ---------- dx
  |      3        
  |               
 /                
 0
∫02π(−4cos⁡4(x)3) dx\int\limits_{0}^{2 \pi} \left(- \frac{4 \cos^{4}{\left(x \right)}}{3}\right)\, dx 
Integral(-4*cos(x)^4/3, (x, 0, 2*pi))
Solución detallada

  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

    ∫(−4cos⁡4(x)3) dx=−4∫cos⁡4(x) dx3\int \left(- \frac{4 \cos^{4}{\left(x \right)}}{3}\right)\, dx = - \frac{4 \int \cos^{4}{\left(x \right)}\, dx}{3}

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      cos⁡4(x)=(cos⁡(2x)2+12)2\cos^{4}{\left(x \right)} = \left(\frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{2}

    2. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        (cos⁡(2x)2+12)2=cos⁡2(2x)4+cos⁡(2x)2+14\left(\frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{2} = \frac{\cos^{2}{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{4}

      2. Integramos término a término:

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫cos⁡2(2x)4 dx=∫cos⁡2(2x) dx4\int \frac{\cos^{2}{\left(2 x \right)}}{4}\, dx = \frac{\int \cos^{2}{\left(2 x \right)}\, dx}{4}

          1. Vuelva a escribir el integrando:

            cos⁡2(2x)=cos⁡(4x)2+12\cos^{2}{\left(2 x \right)} = \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}

          2. Integramos término a término:

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫cos⁡(4x)2 dx=∫cos⁡(4x) dx2\int \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(4 x \right)}\, dx}{2}

              1. que u=4xu = 4 x.

                Luego que du=4dxdu = 4 dx y ponemos du4\frac{du}{4}:

                ∫cos⁡(u)4 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du

                1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du4\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}

                  1. La integral del coseno es seno:

                    ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                  Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)4\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}

                Si ahora sustituir uu más en:

                sin⁡(4x)4\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}

              Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(4x)8\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

              ∫12 dx=x2\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}

            El resultado es: x2+sin⁡(4x)8\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}

          Por lo tanto, el resultado es: x8+sin⁡(4x)32\frac{x}{8} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{32}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫cos⁡(2x)2 dx=∫cos⁡(2x) dx2\int \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{2}

          1. que u=2xu = 2 x.

            Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

            ∫cos⁡(u)2 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

              1. La integral del coseno es seno:

                ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

            Si ahora sustituir uu más en:

            sin⁡(2x)2\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}

          Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(2x)4\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

        1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

          ∫14 dx=x4\int \frac{1}{4}\, dx = \frac{x}{4}

        El resultado es: 3x8+sin⁡(2x)4+sin⁡(4x)32\frac{3 x}{8} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{32}

      Método #2

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        (cos⁡(2x)2+12)2=cos⁡2(2x)4+cos⁡(2x)2+14\left(\frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{2} = \frac{\cos^{2}{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{4}

      2. Integramos término a término:

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫cos⁡2(2x)4 dx=∫cos⁡2(2x) dx4\int \frac{\cos^{2}{\left(2 x \right)}}{4}\, dx = \frac{\int \cos^{2}{\left(2 x \right)}\, dx}{4}

          1. Vuelva a escribir el integrando:

            cos⁡2(2x)=cos⁡(4x)2+12\cos^{2}{\left(2 x \right)} = \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}

          2. Integramos término a término:

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫cos⁡(4x)2 dx=∫cos⁡(4x) dx2\int \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(4 x \right)}\, dx}{2}

              1. que u=4xu = 4 x.

                Luego que du=4dxdu = 4 dx y ponemos du4\frac{du}{4}:

                ∫cos⁡(u)4 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du

                1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du4\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}

                  1. La integral del coseno es seno:

                    ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                  Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)4\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}

                Si ahora sustituir uu más en:

                sin⁡(4x)4\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}

              Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(4x)8\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

              ∫12 dx=x2\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}

            El resultado es: x2+sin⁡(4x)8\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}

          Por lo tanto, el resultado es: x8+sin⁡(4x)32\frac{x}{8} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{32}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫cos⁡(2x)2 dx=∫cos⁡(2x) dx2\int \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{2}

          1. que u=2xu = 2 x.

            Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

            ∫cos⁡(u)2 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

              1. La integral del coseno es seno:

                ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

            Si ahora sustituir uu más en:

            sin⁡(2x)2\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}

          Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(2x)4\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

        1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

          ∫14 dx=x4\int \frac{1}{4}\, dx = \frac{x}{4}

        El resultado es: 3x8+sin⁡(2x)4+sin⁡(4x)32\frac{3 x}{8} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{32}

    Por lo tanto, el resultado es: −x2−sin⁡(2x)3−sin⁡(4x)24- \frac{x}{2} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{3} - \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{24}

  2. Añadimos la constante de integración:

    −x2−sin⁡(2x)3−sin⁡(4x)24+constant- \frac{x}{2} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{3} - \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{24}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

−x2−sin⁡(2x)3−sin⁡(4x)24+constant- \frac{x}{2} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{3} - \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{24}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                           
 |                                            
 |       4                                    
 | -4*cos (x)          x   sin(2*x)   sin(4*x)
 | ---------- dx = C - - - -------- - --------
 |     3               2      3          24   
 |                                            
/
∫(−4cos⁡4(x)3) dx=C−x2−sin⁡(2x)3−sin⁡(4x)24\int \left(- \frac{4 \cos^{4}{\left(x \right)}}{3}\right)\, dx = C - \frac{x}{2} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{3} - \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{24}
Simplificar
Gráfica
0.00.51.01.52.02.53.03.54.04.55.05.56.05-5
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
-pi
−π- \pi 
=
= 
-pi
−π- \pi 
-pi
Respuesta numérica [src] 
-3.14159265358979
-3.14159265358979

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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