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Resolución de integrales/ cos(3x-2π)cos(x+π)

Integral de cos(3x-2π)cos(x+π) d0

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  0                               
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 |                                
 |  cos(3*x - 2*pi)*cos(x + pi) dx
 |                                
/                                 
0
∫00cos⁡(x+π)cos⁡(3x−2π) dx\int\limits_{0}^{0} \cos{\left(x + \pi \right)} \cos{\left(3 x - 2 \pi \right)}\, dx 
Integral(cos(3*x - 2*pi)*cos(x + pi), (x, 0, 0))
Solución detallada

  1. Vuelva a escribir el integrando:

    cos⁡(x+π)cos⁡(3x−2π)=−4cos⁡4(x)+3cos⁡2(x)\cos{\left(x + \pi \right)} \cos{\left(3 x - 2 \pi \right)} = - 4 \cos^{4}{\left(x \right)} + 3 \cos^{2}{\left(x \right)}

  2. Integramos término a término:

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫(−4cos⁡4(x)) dx=−4∫cos⁡4(x) dx\int \left(- 4 \cos^{4}{\left(x \right)}\right)\, dx = - 4 \int \cos^{4}{\left(x \right)}\, dx

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        cos⁡4(x)=(cos⁡(2x)2+12)2\cos^{4}{\left(x \right)} = \left(\frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{2}

      2. Hay varias maneras de calcular esta integral.

        Método #1

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          (cos⁡(2x)2+12)2=cos⁡2(2x)4+cos⁡(2x)2+14\left(\frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{2} = \frac{\cos^{2}{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{4}

        2. Integramos término a término:

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫cos⁡2(2x)4 dx=∫cos⁡2(2x) dx4\int \frac{\cos^{2}{\left(2 x \right)}}{4}\, dx = \frac{\int \cos^{2}{\left(2 x \right)}\, dx}{4}

            1. Vuelva a escribir el integrando:

              cos⁡2(2x)=cos⁡(4x)2+12\cos^{2}{\left(2 x \right)} = \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}

            2. Integramos término a término:

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫cos⁡(4x)2 dx=∫cos⁡(4x) dx2\int \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(4 x \right)}\, dx}{2}

                1. que u=4xu = 4 x.

                  Luego que du=4dxdu = 4 dx y ponemos du4\frac{du}{4}:

                  ∫cos⁡(u)4 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                    ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du4\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}

                    1. La integral del coseno es seno:

                      ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                    Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)4\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}

                  Si ahora sustituir uu más en:

                  sin⁡(4x)4\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}

                Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(4x)8\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}

              1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                ∫12 dx=x2\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}

              El resultado es: x2+sin⁡(4x)8\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}

            Por lo tanto, el resultado es: x8+sin⁡(4x)32\frac{x}{8} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{32}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫cos⁡(2x)2 dx=∫cos⁡(2x) dx2\int \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{2}

            1. que u=2xu = 2 x.

              Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

              ∫cos⁡(u)2 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

                1. La integral del coseno es seno:

                  ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              sin⁡(2x)2\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(2x)4\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫14 dx=x4\int \frac{1}{4}\, dx = \frac{x}{4}

          El resultado es: 3x8+sin⁡(2x)4+sin⁡(4x)32\frac{3 x}{8} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{32}

        Método #2

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          (cos⁡(2x)2+12)2=cos⁡2(2x)4+cos⁡(2x)2+14\left(\frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{2} = \frac{\cos^{2}{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{4}

        2. Integramos término a término:

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫cos⁡2(2x)4 dx=∫cos⁡2(2x) dx4\int \frac{\cos^{2}{\left(2 x \right)}}{4}\, dx = \frac{\int \cos^{2}{\left(2 x \right)}\, dx}{4}

            1. Vuelva a escribir el integrando:

              cos⁡2(2x)=cos⁡(4x)2+12\cos^{2}{\left(2 x \right)} = \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}

            2. Integramos término a término:

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫cos⁡(4x)2 dx=∫cos⁡(4x) dx2\int \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(4 x \right)}\, dx}{2}

                1. que u=4xu = 4 x.

                  Luego que du=4dxdu = 4 dx y ponemos du4\frac{du}{4}:

                  ∫cos⁡(u)4 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                    ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du4\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}

                    1. La integral del coseno es seno:

                      ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                    Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)4\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}

                  Si ahora sustituir uu más en:

                  sin⁡(4x)4\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}

                Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(4x)8\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}

              1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                ∫12 dx=x2\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}

              El resultado es: x2+sin⁡(4x)8\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}

            Por lo tanto, el resultado es: x8+sin⁡(4x)32\frac{x}{8} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{32}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫cos⁡(2x)2 dx=∫cos⁡(2x) dx2\int \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{2}

            1. que u=2xu = 2 x.

              Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

              ∫cos⁡(u)2 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

                1. La integral del coseno es seno:

                  ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              sin⁡(2x)2\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(2x)4\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫14 dx=x4\int \frac{1}{4}\, dx = \frac{x}{4}

          El resultado es: 3x8+sin⁡(2x)4+sin⁡(4x)32\frac{3 x}{8} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{32}

      Por lo tanto, el resultado es: −3x2−sin⁡(2x)−sin⁡(4x)8- \frac{3 x}{2} - \sin{\left(2 x \right)} - \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫3cos⁡2(x) dx=3∫cos⁡2(x) dx\int 3 \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx = 3 \int \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        cos⁡2(x)=cos⁡(2x)2+12\cos^{2}{\left(x \right)} = \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}

      2. Integramos término a término:

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫cos⁡(2x)2 dx=∫cos⁡(2x) dx2\int \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{2}

          1. que u=2xu = 2 x.

            Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

            ∫cos⁡(u)2 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

              1. La integral del coseno es seno:

                ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

            Si ahora sustituir uu más en:

            sin⁡(2x)2\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}

          Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(2x)4\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

        1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

          ∫12 dx=x2\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}

        El resultado es: x2+sin⁡(2x)4\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

      Por lo tanto, el resultado es: 3x2+3sin⁡(2x)4\frac{3 x}{2} + \frac{3 \sin{\left(2 x \right)}}{4}

    El resultado es: −sin⁡(2x)4−sin⁡(4x)8- \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} - \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}

  3. Ahora simplificar:

    −sin⁡(x)cos⁡3(x)- \sin{\left(x \right)} \cos^{3}{\left(x \right)}

  4. Añadimos la constante de integración:

    −sin⁡(x)cos⁡3(x)+constant- \sin{\left(x \right)} \cos^{3}{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

−sin⁡(x)cos⁡3(x)+constant- \sin{\left(x \right)} \cos^{3}{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                        
 |                                      sin(2*x)   sin(4*x)
 | cos(3*x - 2*pi)*cos(x + pi) dx = C - -------- - --------
 |                                         4          8    
/
∫cos⁡(x+π)cos⁡(3x−2π) dx=C−sin⁡(2x)4−sin⁡(4x)8\int \cos{\left(x + \pi \right)} \cos{\left(3 x - 2 \pi \right)}\, dx = C - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} - \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.901-2
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
0
00 
=
= 
0
00 
0
Respuesta numérica [src] 
0.0
0.0

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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