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Resolución de integrales/ cos^2/ tg^5(x)/cos^2(x)

Integral de tg^5(x)/cos^2(x) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1           
  /           
 |            
 |     5      
 |  tan (x)   
 |  ------- dx
 |     2      
 |  cos (x)   
 |            
/             
0
∫01tan⁡5(x)cos⁡2(x) dx\int\limits_{0}^{1} \frac{\tan^{5}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}\, dx 
Integral(tan(x)^5/cos(x)^2, (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Vuelva a escribir el integrando:

    tan⁡5(x)sec⁡2(x)=(sec⁡2(x)−1)2tan⁡(x)sec⁡2(x)\tan^{5}{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)} = \left(\sec^{2}{\left(x \right)} - 1\right)^{2} \tan{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)}

  2. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. que u=sec⁡2(x)−1u = \sec^{2}{\left(x \right)} - 1.

      Luego que du=2tan⁡(x)sec⁡2(x)dxdu = 2 \tan{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)} dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

      ∫u22 du\int \frac{u^{2}}{2}\, du

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫u2 du=∫u2 du2\int u^{2}\, du = \frac{\int u^{2}\, du}{2}

        1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫u2 du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

        Por lo tanto, el resultado es: u36\frac{u^{3}}{6}

      Si ahora sustituir uu más en:

      (sec⁡2(x)−1)36\frac{\left(\sec^{2}{\left(x \right)} - 1\right)^{3}}{6}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (sec⁡2(x)−1)2tan⁡(x)sec⁡2(x)=tan⁡(x)sec⁡6(x)−2tan⁡(x)sec⁡4(x)+tan⁡(x)sec⁡2(x)\left(\sec^{2}{\left(x \right)} - 1\right)^{2} \tan{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)} = \tan{\left(x \right)} \sec^{6}{\left(x \right)} - 2 \tan{\left(x \right)} \sec^{4}{\left(x \right)} + \tan{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. que u=sec⁡(x)u = \sec{\left(x \right)}.

        Luego que du=tan⁡(x)sec⁡(x)dxdu = \tan{\left(x \right)} \sec{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

        ∫u5 du\int u^{5}\, du

        1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫u5 du=u66\int u^{5}\, du = \frac{u^{6}}{6}

        Si ahora sustituir uu más en:

        sec⁡6(x)6\frac{\sec^{6}{\left(x \right)}}{6}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−2tan⁡(x)sec⁡4(x)) dx=−2∫tan⁡(x)sec⁡4(x) dx\int \left(- 2 \tan{\left(x \right)} \sec^{4}{\left(x \right)}\right)\, dx = - 2 \int \tan{\left(x \right)} \sec^{4}{\left(x \right)}\, dx

        1. que u=sec⁡(x)u = \sec{\left(x \right)}.

          Luego que du=tan⁡(x)sec⁡(x)dxdu = \tan{\left(x \right)} \sec{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

          ∫u3 du\int u^{3}\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫u3 du=u44\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}

          Si ahora sustituir uu más en:

          sec⁡4(x)4\frac{\sec^{4}{\left(x \right)}}{4}

        Por lo tanto, el resultado es: −sec⁡4(x)2- \frac{\sec^{4}{\left(x \right)}}{2}

      1. que u=sec⁡(x)u = \sec{\left(x \right)}.

        Luego que du=tan⁡(x)sec⁡(x)dxdu = \tan{\left(x \right)} \sec{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

        ∫u du\int u\, du

        1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫u du=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

        Si ahora sustituir uu más en:

        sec⁡2(x)2\frac{\sec^{2}{\left(x \right)}}{2}

      El resultado es: sec⁡6(x)6−sec⁡4(x)2+sec⁡2(x)2\frac{\sec^{6}{\left(x \right)}}{6} - \frac{\sec^{4}{\left(x \right)}}{2} + \frac{\sec^{2}{\left(x \right)}}{2}

    Método #3

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (sec⁡2(x)−1)2tan⁡(x)sec⁡2(x)=tan⁡(x)sec⁡6(x)−2tan⁡(x)sec⁡4(x)+tan⁡(x)sec⁡2(x)\left(\sec^{2}{\left(x \right)} - 1\right)^{2} \tan{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)} = \tan{\left(x \right)} \sec^{6}{\left(x \right)} - 2 \tan{\left(x \right)} \sec^{4}{\left(x \right)} + \tan{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. que u=sec⁡(x)u = \sec{\left(x \right)}.

        Luego que du=tan⁡(x)sec⁡(x)dxdu = \tan{\left(x \right)} \sec{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

        ∫u5 du\int u^{5}\, du

        1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫u5 du=u66\int u^{5}\, du = \frac{u^{6}}{6}

        Si ahora sustituir uu más en:

        sec⁡6(x)6\frac{\sec^{6}{\left(x \right)}}{6}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−2tan⁡(x)sec⁡4(x)) dx=−2∫tan⁡(x)sec⁡4(x) dx\int \left(- 2 \tan{\left(x \right)} \sec^{4}{\left(x \right)}\right)\, dx = - 2 \int \tan{\left(x \right)} \sec^{4}{\left(x \right)}\, dx

        1. que u=sec⁡(x)u = \sec{\left(x \right)}.

          Luego que du=tan⁡(x)sec⁡(x)dxdu = \tan{\left(x \right)} \sec{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

          ∫u3 du\int u^{3}\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫u3 du=u44\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}

          Si ahora sustituir uu más en:

          sec⁡4(x)4\frac{\sec^{4}{\left(x \right)}}{4}

        Por lo tanto, el resultado es: −sec⁡4(x)2- \frac{\sec^{4}{\left(x \right)}}{2}

      1. que u=sec⁡(x)u = \sec{\left(x \right)}.

        Luego que du=tan⁡(x)sec⁡(x)dxdu = \tan{\left(x \right)} \sec{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

        ∫u du\int u\, du

        1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫u du=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

        Si ahora sustituir uu más en:

        sec⁡2(x)2\frac{\sec^{2}{\left(x \right)}}{2}

      El resultado es: sec⁡6(x)6−sec⁡4(x)2+sec⁡2(x)2\frac{\sec^{6}{\left(x \right)}}{6} - \frac{\sec^{4}{\left(x \right)}}{2} + \frac{\sec^{2}{\left(x \right)}}{2}

  3. Ahora simplificar:

    tan⁡6(x)6\frac{\tan^{6}{\left(x \right)}}{6}

  4. Añadimos la constante de integración:

    tan⁡6(x)6+constant\frac{\tan^{6}{\left(x \right)}}{6}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

tan⁡6(x)6+constant\frac{\tan^{6}{\left(x \right)}}{6}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                
 |                                3
 |    5             /        2   \ 
 | tan (x)          \-1 + sec (x)/ 
 | ------- dx = C + ---------------
 |    2                    6       
 | cos (x)                         
 |                                 
/
∫tan⁡5(x)cos⁡2(x) dx=C+(sec⁡2(x)−1)36\int \frac{\tan^{5}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}\, dx = C + \frac{\left(\sec^{2}{\left(x \right)} - 1\right)^{3}}{6}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.90050
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
               2           4   
  1   1 - 3*cos (1) + 3*cos (1)
- - + -------------------------
  6                6           
              6*cos (1)
−16+−3cos⁡2(1)+3cos⁡4(1)+16cos⁡6(1)- \frac{1}{6} + \frac{- 3 \cos^{2}{\left(1 \right)} + 3 \cos^{4}{\left(1 \right)} + 1}{6 \cos^{6}{\left(1 \right)}} 
=
= 
               2           4   
  1   1 - 3*cos (1) + 3*cos (1)
- - + -------------------------
  6                6           
              6*cos (1)
−16+−3cos⁡2(1)+3cos⁡4(1)+16cos⁡6(1)- \frac{1}{6} + \frac{- 3 \cos^{2}{\left(1 \right)} + 3 \cos^{4}{\left(1 \right)} + 1}{6 \cos^{6}{\left(1 \right)}} 
-1/6 + (1 - 3*cos(1)^2 + 3*cos(1)^4)/(6*cos(1)^6)
Respuesta numérica [src] 
2.37827842589157
2.37827842589157

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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