Integral de (sin7x-1/2cos²x) dx

1. Integramos término a término:

   1. que $u = 7 x$.

      Luego que $du = 7 dx$ y ponemos $\frac{du}{7}$:

      $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{7}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{7}$

         1. La integral del seno es un coseno menos:

            $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\cos{\left(u \right)}}{7}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{\cos{\left(7 x \right)}}{7}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2}\right)\, dx = - \frac{\int \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx}{2}$

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\cos^{2}{\left(x \right)} = \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}$

      2. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{2}$

            1. que $u = 2 x$.

               Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

               $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$

                  1. La integral del coseno es seno:

                     $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}$

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$

         El resultado es: $\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{x}{4} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{8}$

   El resultado es: $- \frac{x}{4} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{8} - \frac{\cos{\left(7 x \right)}}{7}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{x}{4} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{8} - \frac{\cos{\left(7 x \right)}}{7}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{x}{4} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{8} - \frac{\cos{\left(7 x \right)}}{7}+ \mathrm{constant}$