Integral de (sin(t))^2+1-2cos(t)+(cos(t))^2 dx

1. Integramos término a término:

   1. Integramos término a término:

      1. Integramos término a término:

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\sin^{2}{\left(t \right)} = \frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 t \right)}}{2}$

         2. Integramos término a término:

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int \frac{1}{2}\, dt = \frac{t}{2}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- \frac{\cos{\left(2 t \right)}}{2}\right)\, dt = - \frac{\int \cos{\left(2 t \right)}\, dt}{2}$

               1. que $u = 2 t$.

                  Luego que $du = 2 dt$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

                  $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$

                     1. La integral del coseno es seno:

                        $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\frac{\sin{\left(2 t \right)}}{2}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\sin{\left(2 t \right)}}{4}$

            El resultado es: $\frac{t}{2} - \frac{\sin{\left(2 t \right)}}{4}$

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int 1\, dt = t$

         El resultado es: $\frac{3 t}{2} - \frac{\sin{\left(2 t \right)}}{4}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 2 \cos{\left(t \right)}\right)\, dt = - 2 \int \cos{\left(t \right)}\, dt$

         1. La integral del coseno es seno:

            $\int \cos{\left(t \right)}\, dt = \sin{\left(t \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 2 \sin{\left(t \right)}$

      El resultado es: $\frac{3 t}{2} - 2 \sin{\left(t \right)} - \frac{\sin{\left(2 t \right)}}{4}$

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\cos^{2}{\left(t \right)} = \frac{\cos{\left(2 t \right)}}{2} + \frac{1}{2}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{\cos{\left(2 t \right)}}{2}\, dt = \frac{\int \cos{\left(2 t \right)}\, dt}{2}$

         1. que $u = 2 t$.

            Luego que $du = 2 dt$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

            $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$

               1. La integral del coseno es seno:

                  $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\sin{\left(2 t \right)}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(2 t \right)}}{4}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int \frac{1}{2}\, dt = \frac{t}{2}$

      El resultado es: $\frac{t}{2} + \frac{\sin{\left(2 t \right)}}{4}$

   El resultado es: $2 t - 2 \sin{\left(t \right)}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $2 t - 2 \sin{\left(t \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$2 t - 2 \sin{\left(t \right)}+ \mathrm{constant}$