Integral de 1/((1/3x-1)-x) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = - x + \left(\frac{x}{3} - 1\right)$.

      Luego que $du = - \frac{2 dx}{3}$ y ponemos $- \frac{3 du}{2}$:

      $\int \left(- \frac{3}{2 u}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{1}{u}\, du = - \frac{3 \int \frac{1}{u}\, du}{2}$

         1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{3 \log{\left(u \right)}}{2}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{3 \log{\left(- x + \left(\frac{x}{3} - 1\right) \right)}}{2}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{1}{- x + \left(\frac{x}{3} - 1\right)} = - \frac{3}{2 x + 3}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- \frac{3}{2 x + 3}\right)\, dx = - 3 \int \frac{1}{2 x + 3}\, dx$

      1. que $u = 2 x + 3$.

         Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

         $\int \frac{1}{2 u}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{2}$

            1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u \right)}}{2}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{\log{\left(2 x + 3 \right)}}{2}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{3 \log{\left(2 x + 3 \right)}}{2}$

   Método #3

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{1}{- x + \left(\frac{x}{3} - 1\right)} = - \frac{3}{2 x + 3}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- \frac{3}{2 x + 3}\right)\, dx = - 3 \int \frac{1}{2 x + 3}\, dx$

      1. que $u = 2 x + 3$.

         Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

         $\int \frac{1}{2 u}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{2}$

            1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u \right)}}{2}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{\log{\left(2 x + 3 \right)}}{2}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{3 \log{\left(2 x + 3 \right)}}{2}$

2. Ahora simplificar:

   $- \frac{3 \log{\left(- \frac{2 x}{3} - 1 \right)}}{2}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{3 \log{\left(- \frac{2 x}{3} - 1 \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{3 \log{\left(- \frac{2 x}{3} - 1 \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$