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Resolución de integrales/ cost^3

Integral de cost^3 dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1           
  /           
 |            
 |     3      
 |  cos (t) dt
 |            
/             
0
∫01cos⁡3(t) dt\int\limits_{0}^{1} \cos^{3}{\left(t \right)}\, dt 
Integral(cos(t)^3, (t, 0, 1))
Solución detallada

  1. Vuelva a escribir el integrando:

    cos⁡3(t)=(1−sin⁡2(t))cos⁡(t)\cos^{3}{\left(t \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(t \right)}\right) \cos{\left(t \right)}

  2. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. que u=sin⁡(t)u = \sin{\left(t \right)}.

      Luego que du=cos⁡(t)dtdu = \cos{\left(t \right)} dt y ponemos dudu:

      ∫(1−u2) du\int \left(1 - u^{2}\right)\, du

      1. Integramos término a término:

        1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

          ∫1 du=u\int 1\, du = u

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−u2) du=−∫u2 du\int \left(- u^{2}\right)\, du = - \int u^{2}\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫u2 du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

          Por lo tanto, el resultado es: −u33- \frac{u^{3}}{3}

        El resultado es: −u33+u- \frac{u^{3}}{3} + u

      Si ahora sustituir uu más en:

      −sin⁡3(t)3+sin⁡(t)- \frac{\sin^{3}{\left(t \right)}}{3} + \sin{\left(t \right)}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (1−sin⁡2(t))cos⁡(t)=−sin⁡2(t)cos⁡(t)+cos⁡(t)\left(1 - \sin^{2}{\left(t \right)}\right) \cos{\left(t \right)} = - \sin^{2}{\left(t \right)} \cos{\left(t \right)} + \cos{\left(t \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−sin⁡2(t)cos⁡(t)) dt=−∫sin⁡2(t)cos⁡(t) dt\int \left(- \sin^{2}{\left(t \right)} \cos{\left(t \right)}\right)\, dt = - \int \sin^{2}{\left(t \right)} \cos{\left(t \right)}\, dt

        1. que u=sin⁡(t)u = \sin{\left(t \right)}.

          Luego que du=cos⁡(t)dtdu = \cos{\left(t \right)} dt y ponemos dudu:

          ∫u2 du\int u^{2}\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫u2 du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

          Si ahora sustituir uu más en:

          sin⁡3(t)3\frac{\sin^{3}{\left(t \right)}}{3}

        Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡3(t)3- \frac{\sin^{3}{\left(t \right)}}{3}

      1. La integral del coseno es seno:

        ∫cos⁡(t) dt=sin⁡(t)\int \cos{\left(t \right)}\, dt = \sin{\left(t \right)}

      El resultado es: −sin⁡3(t)3+sin⁡(t)- \frac{\sin^{3}{\left(t \right)}}{3} + \sin{\left(t \right)}

    Método #3

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (1−sin⁡2(t))cos⁡(t)=−sin⁡2(t)cos⁡(t)+cos⁡(t)\left(1 - \sin^{2}{\left(t \right)}\right) \cos{\left(t \right)} = - \sin^{2}{\left(t \right)} \cos{\left(t \right)} + \cos{\left(t \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−sin⁡2(t)cos⁡(t)) dt=−∫sin⁡2(t)cos⁡(t) dt\int \left(- \sin^{2}{\left(t \right)} \cos{\left(t \right)}\right)\, dt = - \int \sin^{2}{\left(t \right)} \cos{\left(t \right)}\, dt

        1. que u=sin⁡(t)u = \sin{\left(t \right)}.

          Luego que du=cos⁡(t)dtdu = \cos{\left(t \right)} dt y ponemos dudu:

          ∫u2 du\int u^{2}\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫u2 du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

          Si ahora sustituir uu más en:

          sin⁡3(t)3\frac{\sin^{3}{\left(t \right)}}{3}

        Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡3(t)3- \frac{\sin^{3}{\left(t \right)}}{3}

      1. La integral del coseno es seno:

        ∫cos⁡(t) dt=sin⁡(t)\int \cos{\left(t \right)}\, dt = \sin{\left(t \right)}

      El resultado es: −sin⁡3(t)3+sin⁡(t)- \frac{\sin^{3}{\left(t \right)}}{3} + \sin{\left(t \right)}

  3. Añadimos la constante de integración:

    −sin⁡3(t)3+sin⁡(t)+constant- \frac{\sin^{3}{\left(t \right)}}{3} + \sin{\left(t \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

−sin⁡3(t)3+sin⁡(t)+constant- \frac{\sin^{3}{\left(t \right)}}{3} + \sin{\left(t \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                 
 |                     3            
 |    3             sin (t)         
 | cos (t) dt = C - ------- + sin(t)
 |                     3            
/
∫cos⁡3(t) dt=C−sin⁡3(t)3+sin⁡(t)\int \cos^{3}{\left(t \right)}\, dt = C - \frac{\sin^{3}{\left(t \right)}}{3} + \sin{\left(t \right)}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.9002
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
     3            
  sin (1)         
- ------- + sin(1)
     3
−sin⁡3(1)3+sin⁡(1)- \frac{\sin^{3}{\left(1 \right)}}{3} + \sin{\left(1 \right)} 
=
= 
     3            
  sin (1)         
- ------- + sin(1)
     3
−sin⁡3(1)3+sin⁡(1)- \frac{\sin^{3}{\left(1 \right)}}{3} + \sin{\left(1 \right)} 
-sin(1)^3/3 + sin(1)
Respuesta numérica [src] 
0.642863239277578
0.642863239277578

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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