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Resolución de integrales/ e^(2*x+4)/ (2*x+4)*e^(2*x+4)

Integral de (2*x+4)*e^(2*x+4) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                      
  /                      
 |                       
 |             2*x + 4   
 |  (2*x + 4)*E        dx
 |                       
/                        
0
∫01e2x+4(2x+4) dx\int\limits_{0}^{1} e^{2 x + 4} \left(2 x + 4\right)\, dx 
Integral((2*x + 4)*E^(2*x + 4), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. que u=2x+4u = 2 x + 4.

      Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

      ∫ueu2 du\int \frac{u e^{u}}{2}\, du

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫ueu du=∫ueu du2\int u e^{u}\, du = \frac{\int u e^{u}\, du}{2}

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(u)=uu{\left(u \right)} = u y que dv⁡(u)=eu\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}.

          Entonces du⁡(u)=1\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1.

          Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

          1. La integral de la función exponencial es la mesma.

            ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral de la función exponencial es la mesma.

          ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

        Por lo tanto, el resultado es: ueu2−eu2\frac{u e^{u}}{2} - \frac{e^{u}}{2}

      Si ahora sustituir uu más en:

      (2x+4)e2x+42−e2x+42\frac{\left(2 x + 4\right) e^{2 x + 4}}{2} - \frac{e^{2 x + 4}}{2}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      e2x+4(2x+4)=2xe4e2x+4e4e2xe^{2 x + 4} \left(2 x + 4\right) = 2 x e^{4} e^{2 x} + 4 e^{4} e^{2 x}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫2xe4e2x dx=2e4∫xe2x dx\int 2 x e^{4} e^{2 x}\, dx = 2 e^{4} \int x e^{2 x}\, dx

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=xu{\left(x \right)} = x y que dv⁡(x)=e2x\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{2 x}.

          Entonces du⁡(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. que u=2xu = 2 x.

            Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

            ∫eu2 du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              False\text{False}

              1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

              Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

            Si ahora sustituir uu más en:

            e2x2\frac{e^{2 x}}{2}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫e2x2 dx=∫e2x dx2\int \frac{e^{2 x}}{2}\, dx = \frac{\int e^{2 x}\, dx}{2}

          1. que u=2xu = 2 x.

            Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

            ∫eu2 du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              False\text{False}

              1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

              Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

            Si ahora sustituir uu más en:

            e2x2\frac{e^{2 x}}{2}

          Por lo tanto, el resultado es: e2x4\frac{e^{2 x}}{4}

        Por lo tanto, el resultado es: 2(xe2x2−e2x4)e42 \left(\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{2 x}}{4}\right) e^{4}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫4e4e2x dx=4e4∫e2x dx\int 4 e^{4} e^{2 x}\, dx = 4 e^{4} \int e^{2 x}\, dx

        1. que u=2xu = 2 x.

          Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

          ∫eu2 du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            False\text{False}

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

              ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

            Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

          Si ahora sustituir uu más en:

          e2x2\frac{e^{2 x}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: 2e4e2x2 e^{4} e^{2 x}

      El resultado es: 2(xe2x2−e2x4)e4+2e4e2x2 \left(\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{2 x}}{4}\right) e^{4} + 2 e^{4} e^{2 x}

    Método #3

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      e2x+4(2x+4)=2xe4e2x+4e4e2xe^{2 x + 4} \left(2 x + 4\right) = 2 x e^{4} e^{2 x} + 4 e^{4} e^{2 x}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫2xe4e2x dx=2e4∫xe2x dx\int 2 x e^{4} e^{2 x}\, dx = 2 e^{4} \int x e^{2 x}\, dx

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=xu{\left(x \right)} = x y que dv⁡(x)=e2x\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{2 x}.

          Entonces du⁡(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. que u=2xu = 2 x.

            Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

            ∫eu2 du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              False\text{False}

              1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

              Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

            Si ahora sustituir uu más en:

            e2x2\frac{e^{2 x}}{2}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫e2x2 dx=∫e2x dx2\int \frac{e^{2 x}}{2}\, dx = \frac{\int e^{2 x}\, dx}{2}

          1. que u=2xu = 2 x.

            Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

            ∫eu2 du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              False\text{False}

              1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

              Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

            Si ahora sustituir uu más en:

            e2x2\frac{e^{2 x}}{2}

          Por lo tanto, el resultado es: e2x4\frac{e^{2 x}}{4}

        Por lo tanto, el resultado es: 2(xe2x2−e2x4)e42 \left(\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{2 x}}{4}\right) e^{4}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫4e4e2x dx=4e4∫e2x dx\int 4 e^{4} e^{2 x}\, dx = 4 e^{4} \int e^{2 x}\, dx

        1. que u=2xu = 2 x.

          Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

          ∫eu2 du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            False\text{False}

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

              ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

            Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

          Si ahora sustituir uu más en:

          e2x2\frac{e^{2 x}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: 2e4e2x2 e^{4} e^{2 x}

      El resultado es: 2(xe2x2−e2x4)e4+2e4e2x2 \left(\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{2 x}}{4}\right) e^{4} + 2 e^{4} e^{2 x}

  2. Ahora simplificar:

    (x+32)e2x+4\left(x + \frac{3}{2}\right) e^{2 x + 4}

  3. Añadimos la constante de integración:

    (x+32)e2x+4+constant\left(x + \frac{3}{2}\right) e^{2 x + 4}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

(x+32)e2x+4+constant\left(x + \frac{3}{2}\right) e^{2 x + 4}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                         
 |                              2*x + 4              2*x + 4
 |            2*x + 4          e          (2*x + 4)*e       
 | (2*x + 4)*E        dx = C - -------- + ------------------
 |                                2               2         
/
∫e2x+4(2x+4) dx=C+(2x+4)e2x+42−e2x+42\int e^{2 x + 4} \left(2 x + 4\right)\, dx = C + \frac{\left(2 x + 4\right) e^{2 x + 4}}{2} - \frac{e^{2 x + 4}}{2}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.9002500
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
     4      6
  3*e    5*e 
- ---- + ----
   2      2
−3e42+5e62- \frac{3 e^{4}}{2} + \frac{5 e^{6}}{2} 
=
= 
     4      6
  3*e    5*e 
- ---- + ----
   2      2
−3e42+5e62- \frac{3 e^{4}}{2} + \frac{5 e^{6}}{2} 
-3*exp(4)/2 + 5*exp(6)/2
Respuesta numérica [src] 
926.674758682121
926.674758682121

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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