Integral de (ln(-y-x+e)-1)/(x-e) dy

1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

   $\int \frac{\log{\left(\left(- x - y\right) + e \right)} - 1}{x - e}\, dy = \frac{\int \left(\log{\left(\left(- x - y\right) + e \right)} - 1\right)\, dy}{x - e}$

   1. Integramos término a término:

      1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

         Método #1

         1. que $u = \left(- x - y\right) + e$.

            Luego que $du = - dy$ y ponemos $- du$:

            $\int \left(- \log{\left(u \right)}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \log{\left(u \right)}\, du = - \int \log{\left(u \right)}\, du$

               1. Usamos la integración por partes:

                  $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

                  que $u{\left(u \right)} = \log{\left(u \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = 1$.

                  Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = \frac{1}{u}$.

                  Para buscar $v{\left(u \right)}$:

                  1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                     $\int 1\, du = u$

                  Ahora resolvemos podintegral.

               2. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                  $\int 1\, du = u$

               Por lo tanto, el resultado es: $- u \log{\left(u \right)} + u$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- x - y - \left(\left(- x - y\right) + e\right) \log{\left(\left(- x - y\right) + e \right)} + e$

         Método #2

         1. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(y \right)} = \log{\left(\left(- x - y\right) + e \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(y \right)} = 1$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(y \right)} = - \frac{1}{\left(- x - y\right) + e}$.

            Para buscar $v{\left(y \right)}$:

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int 1\, dy = y$

            Ahora resolvemos podintegral.

         2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- \frac{y}{\left(- x - y\right) + e}\right)\, dy = - \int \frac{y}{\left(- x - y\right) + e}\, dy$

            1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

               Método #1

               1. Vuelva a escribir el integrando:

                  $\frac{y}{\left(- x - y\right) + e} = \frac{x - e}{x + y - e} - 1$

               2. Integramos término a término:

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \frac{x - e}{x + y - e}\, dy = \left(x - e\right) \int \frac{1}{x + y - e}\, dy$

                     1. que $u = x + y - e$.

                        Luego que $du = dy$ y ponemos $du$:

                        $\int \frac{1}{u}\, du$

                        1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                        Si ahora sustituir $u$ más en:

                        $\log{\left(x + y - e \right)}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $\left(x - e\right) \log{\left(x + y - e \right)}$

                  1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                     $\int \left(-1\right)\, dy = - y$

                  El resultado es: $- y + \left(x - e\right) \log{\left(x + y - e \right)}$

               Método #2

               1. Vuelva a escribir el integrando:

                  $\frac{y}{\left(- x - y\right) + e} = - \frac{y}{x + y - e}$

               2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \left(- \frac{y}{x + y - e}\right)\, dy = - \int \frac{y}{x + y - e}\, dy$

                  1. Vuelva a escribir el integrando:

                     $\frac{y}{x + y - e} = - \frac{x - e}{x + y - e} + 1$

                  2. Integramos término a término:

                     1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                        $\int \left(- \frac{x - e}{x + y - e}\right)\, dy = \left(e - x\right) \int \frac{1}{x + y - e}\, dy$

                        1. que $u = x + y - e$.

                           Luego que $du = dy$ y ponemos $du$:

                           $\int \frac{1}{u}\, du$

                           1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                           Si ahora sustituir $u$ más en:

                           $\log{\left(x + y - e \right)}$

                        Por lo tanto, el resultado es: $\left(e - x\right) \log{\left(x + y - e \right)}$

                     1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                        $\int 1\, dy = y$

                     El resultado es: $y + \left(e - x\right) \log{\left(x + y - e \right)}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- y - \left(e - x\right) \log{\left(x + y - e \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $y - \left(x - e\right) \log{\left(x + y - e \right)}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int \left(-1\right)\, dy = - y$

      El resultado es: $- x - 2 y - \left(\left(- x - y\right) + e\right) \log{\left(\left(- x - y\right) + e \right)} + e$

   Por lo tanto, el resultado es: $\frac{- x - 2 y - \left(\left(- x - y\right) + e\right) \log{\left(\left(- x - y\right) + e \right)} + e}{x - e}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{- x - 2 y + \left(x + y - e\right) \log{\left(- x - y + e \right)} + e}{x - e}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{- x - 2 y + \left(x + y - e\right) \log{\left(- x - y + e \right)} + e}{x - e}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{- x - 2 y + \left(x + y - e\right) \log{\left(- x - y + e \right)} + e}{x - e}+ \mathrm{constant}$