Integral de 3*e^(x*(-2))+(x-1)^3 dx

1. Integramos término a término:

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 3 e^{\left(-2\right) x}\, dx = 3 \int e^{\left(-2\right) x}\, dx$

      1. que $u = \left(-2\right) x$.

         Luego que $du = - 2 dx$ y ponemos $- \frac{du}{2}$:

         $\int \left(- \frac{e^{u}}{2}\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\text{False}$

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{e^{u}}{2}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{e^{\left(-2\right) x}}{2}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{3 e^{\left(-2\right) x}}{2}$

   1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. que $u = x - 1$.

         Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

         $\int u^{3}\, du$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{\left(x - 1\right)^{4}}{4}$

      Método #2

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\left(x - 1\right)^{3} = x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1$

      2. Integramos término a término:

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- 3 x^{2}\right)\, dx = - 3 \int x^{2}\, dx$

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- x^{3}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 3 x\, dx = 3 \int x\, dx$

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3 x^{2}}{2}$

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int \left(-1\right)\, dx = - x$

         El resultado es: $\frac{x^{4}}{4} - x^{3} + \frac{3 x^{2}}{2} - x$

   El resultado es: $\frac{\left(x - 1\right)^{4}}{4} - \frac{3 e^{\left(-2\right) x}}{2}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{\left(x - 1\right)^{4}}{4} - \frac{3 e^{- 2 x}}{2}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\left(x - 1\right)^{4}}{4} - \frac{3 e^{- 2 x}}{2}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\left(x - 1\right)^{4}}{4} - \frac{3 e^{- 2 x}}{2}+ \mathrm{constant}$