Integral de cos(x)*sin(2t-x) dx

1. Vuelva a escribir el integrando:

   $\sin{\left(2 t - x \right)} \cos{\left(x \right)} = 2 \sin{\left(t \right)} \cos{\left(t \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} - 2 \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(t \right)} \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}$

2. Integramos término a término:

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 2 \sin{\left(t \right)} \cos{\left(t \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx = 2 \sin{\left(t \right)} \cos{\left(t \right)} \int \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx$

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\cos^{2}{\left(x \right)} = \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}$

      2. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{2}$

            1. que $u = 2 x$.

               Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

               $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$

                  1. La integral del coseno es seno:

                     $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}$

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$

         El resultado es: $\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}$

      Por lo tanto, el resultado es: $2 \left(\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}\right) \sin{\left(t \right)} \cos{\left(t \right)}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- 2 \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(t \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - 2 \cos^{2}{\left(t \right)} \int \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$

      1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

         Método #1

         1. que $u = \cos{\left(x \right)}$.

            Luego que $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- du$:

            $\int \left(- u\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int u\, du = - \int u\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{2}}{2}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2}$

         Método #2

         1. que $u = \sin{\left(x \right)}$.

            Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

            $\int u\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\sin^{2}{\left(x \right)}}{2}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\cos^{2}{\left(t \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}$

   1. que $u = \cos{\left(x \right)}$.

      Luego que $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- du$:

      $\int \left(- u\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int u\, du = - \int u\, du$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{2}}{2}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2}$

   El resultado es: $2 \left(\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}\right) \sin{\left(t \right)} \cos{\left(t \right)} + \cos^{2}{\left(t \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} - \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2}$

3. Ahora simplificar:

   $\frac{x \sin{\left(2 t \right)}}{2} + \frac{\cos{\left(2 t \right)}}{4} + \frac{\cos{\left(2 t - 2 x \right)}}{4}$

4. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{x \sin{\left(2 t \right)}}{2} + \frac{\cos{\left(2 t \right)}}{4} + \frac{\cos{\left(2 t - 2 x \right)}}{4}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{x \sin{\left(2 t \right)}}{2} + \frac{\cos{\left(2 t \right)}}{4} + \frac{\cos{\left(2 t - 2 x \right)}}{4}+ \mathrm{constant}$