Integral de ((5x^3)*x^(1/2)+x^5-1)/x^5 dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \sqrt{x}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{2 \sqrt{x}}$ y ponemos $du$:

      $\int \frac{2 u^{10} + 10 u^{7} - 2}{u^{9}}\, du$

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{2 u^{10} + 10 u^{7} - 2}{u^{9}} = 2 u + \frac{10}{u^{2}} - \frac{2}{u^{9}}$

      2. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 2 u\, du = 2 \int u\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $u^{2}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{10}{u^{2}}\, du = 10 \int \frac{1}{u^{2}}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{10}{u}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- \frac{2}{u^{9}}\right)\, du = - 2 \int \frac{1}{u^{9}}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int \frac{1}{u^{9}}\, du = - \frac{1}{8 u^{8}}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{1}{4 u^{8}}$

         El resultado es: $u^{2} - \frac{10}{u} + \frac{1}{4 u^{8}}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $x + \frac{1}{4 x^{4}} - \frac{10}{\sqrt{x}}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{\left(\sqrt{x} 5 x^{3} + x^{5}\right) - 1}{x^{5}} = 1 - \frac{1}{x^{5}} + \frac{5}{x^{\frac{3}{2}}}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 1\, dx = x$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{1}{x^{5}}\right)\, dx = - \int \frac{1}{x^{5}}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \frac{1}{x^{5}}\, dx = - \frac{1}{4 x^{4}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{1}{4 x^{4}}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{5}{x^{\frac{3}{2}}}\, dx = 5 \int \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}\, dx = - \frac{2}{\sqrt{x}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{10}{\sqrt{x}}$

      El resultado es: $x + \frac{1}{4 x^{4}} - \frac{10}{\sqrt{x}}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $x + \frac{1}{4 x^{4}} - \frac{10}{\sqrt{x}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$x + \frac{1}{4 x^{4}} - \frac{10}{\sqrt{x}}+ \mathrm{constant}$