Integral de x^2/sqrt(2-x) dx

1. que $u = \sqrt{2 - x}$.

   Luego que $du = - \frac{dx}{2 \sqrt{2 - x}}$ y ponemos $- 2 du$:

   $\int \left(- 2 \left(2 - u^{2}\right)^{2}\right)\, du$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(2 - u^{2}\right)^{2}\, du = - 2 \int \left(2 - u^{2}\right)^{2}\, du$

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\left(2 - u^{2}\right)^{2} = u^{4} - 4 u^{2} + 4$

      2. Integramos término a término:

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- 4 u^{2}\right)\, du = - 4 \int u^{2}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{4 u^{3}}{3}$

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int 4\, du = 4 u$

         El resultado es: $\frac{u^{5}}{5} - \frac{4 u^{3}}{3} + 4 u$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2 u^{5}}{5} + \frac{8 u^{3}}{3} - 8 u$

   Si ahora sustituir $u$ más en:

   $- \frac{2 \left(2 - x\right)^{\frac{5}{2}}}{5} + \frac{8 \left(2 - x\right)^{\frac{3}{2}}}{3} - 8 \sqrt{2 - x}$

2. Ahora simplificar:

   $- \frac{2 \sqrt{2 - x} \left(3 x^{2} + 8 x + 32\right)}{15}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{2 \sqrt{2 - x} \left(3 x^{2} + 8 x + 32\right)}{15}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{2 \sqrt{2 - x} \left(3 x^{2} + 8 x + 32\right)}{15}+ \mathrm{constant}$