Integral de 5cos5xd(5x) dx

1. que $u = 5 x$.

   Luego que $du = 5 dx$ y ponemos $d du$:

   $\int d u \cos{\left(u \right)}\, du$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int u \cos{\left(u \right)}\, du = d \int u \cos{\left(u \right)}\, du$

      1. Usamos la integración por partes:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         que $u{\left(u \right)} = u$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$.

         Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1$.

         Para buscar $v{\left(u \right)}$:

         1. La integral del coseno es seno:

            $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

         Ahora resolvemos podintegral.

      2. La integral del seno es un coseno menos:

         $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$

      Por lo tanto, el resultado es: $d \left(u \sin{\left(u \right)} + \cos{\left(u \right)}\right)$

   Si ahora sustituir $u$ más en:

   $d \left(5 x \sin{\left(5 x \right)} + \cos{\left(5 x \right)}\right)$

2. Añadimos la constante de integración:

   $d \left(5 x \sin{\left(5 x \right)} + \cos{\left(5 x \right)}\right)+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$d \left(5 x \sin{\left(5 x \right)} + \cos{\left(5 x \right)}\right)+ \mathrm{constant}$