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Resolución de integrales/ x^2+3/ 4*x^2/ 3*x+1/ (4*x^2+3*x+1)*cosx

Integral de (4*x^2+3*x+1)*cosx dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
 2*pi                          
   /                           
  |                            
  |  /   2          \          
  |  \4*x  + 3*x + 1/*cos(x) dx
  |                            
 /                             
 0
∫02π((4x2+3x)+1)cos⁡(x) dx\int\limits_{0}^{2 \pi} \left(\left(4 x^{2} + 3 x\right) + 1\right) \cos{\left(x \right)}\, dx 
Integral((4*x^2 + 3*x + 1)*cos(x), (x, 0, 2*pi))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      ((4x2+3x)+1)cos⁡(x)=4x2cos⁡(x)+3xcos⁡(x)+cos⁡(x)\left(\left(4 x^{2} + 3 x\right) + 1\right) \cos{\left(x \right)} = 4 x^{2} \cos{\left(x \right)} + 3 x \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫4x2cos⁡(x) dx=4∫x2cos⁡(x) dx\int 4 x^{2} \cos{\left(x \right)}\, dx = 4 \int x^{2} \cos{\left(x \right)}\, dx

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=x2u{\left(x \right)} = x^{2} y que dv⁡(x)=cos⁡(x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}.

          Entonces du⁡(x)=2x\operatorname{du}{\left(x \right)} = 2 x.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. La integral del coseno es seno:

            ∫cos⁡(x) dx=sin⁡(x)\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=2xu{\left(x \right)} = 2 x y que dv⁡(x)=sin⁡(x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}.

          Entonces du⁡(x)=2\operatorname{du}{\left(x \right)} = 2.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. La integral del seno es un coseno menos:

            ∫sin⁡(x) dx=−cos⁡(x)\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}

          Ahora resolvemos podintegral.

        3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−2cos⁡(x)) dx=−2∫cos⁡(x) dx\int \left(- 2 \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - 2 \int \cos{\left(x \right)}\, dx

          1. La integral del coseno es seno:

            ∫cos⁡(x) dx=sin⁡(x)\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: −2sin⁡(x)- 2 \sin{\left(x \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: 4x2sin⁡(x)+8xcos⁡(x)−8sin⁡(x)4 x^{2} \sin{\left(x \right)} + 8 x \cos{\left(x \right)} - 8 \sin{\left(x \right)}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫3xcos⁡(x) dx=3∫xcos⁡(x) dx\int 3 x \cos{\left(x \right)}\, dx = 3 \int x \cos{\left(x \right)}\, dx

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=xu{\left(x \right)} = x y que dv⁡(x)=cos⁡(x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}.

          Entonces du⁡(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. La integral del coseno es seno:

            ∫cos⁡(x) dx=sin⁡(x)\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral del seno es un coseno menos:

          ∫sin⁡(x) dx=−cos⁡(x)\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: 3xsin⁡(x)+3cos⁡(x)3 x \sin{\left(x \right)} + 3 \cos{\left(x \right)}

      1. La integral del coseno es seno:

        ∫cos⁡(x) dx=sin⁡(x)\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}

      El resultado es: 4x2sin⁡(x)+3xsin⁡(x)+8xcos⁡(x)−7sin⁡(x)+3cos⁡(x)4 x^{2} \sin{\left(x \right)} + 3 x \sin{\left(x \right)} + 8 x \cos{\left(x \right)} - 7 \sin{\left(x \right)} + 3 \cos{\left(x \right)}

    Método #2

    1. Usamos la integración por partes:

      ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      que u(x)=4x2+3x+1u{\left(x \right)} = 4 x^{2} + 3 x + 1 y que dv⁡(x)=cos⁡(x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}.

      Entonces du⁡(x)=8x+3\operatorname{du}{\left(x \right)} = 8 x + 3.

      Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

      1. La integral del coseno es seno:

        ∫cos⁡(x) dx=sin⁡(x)\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}

      Ahora resolvemos podintegral.

    2. Usamos la integración por partes:

      ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      que u(x)=8x+3u{\left(x \right)} = 8 x + 3 y que dv⁡(x)=sin⁡(x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}.

      Entonces du⁡(x)=8\operatorname{du}{\left(x \right)} = 8.

      Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

      1. La integral del seno es un coseno menos:

        ∫sin⁡(x) dx=−cos⁡(x)\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}

      Ahora resolvemos podintegral.

    3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫(−8cos⁡(x)) dx=−8∫cos⁡(x) dx\int \left(- 8 \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - 8 \int \cos{\left(x \right)}\, dx

      1. La integral del coseno es seno:

        ∫cos⁡(x) dx=sin⁡(x)\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}

      Por lo tanto, el resultado es: −8sin⁡(x)- 8 \sin{\left(x \right)}

  2. Añadimos la constante de integración:

    4x2sin⁡(x)+3xsin⁡(x)+8xcos⁡(x)−7sin⁡(x)+3cos⁡(x)+constant4 x^{2} \sin{\left(x \right)} + 3 x \sin{\left(x \right)} + 8 x \cos{\left(x \right)} - 7 \sin{\left(x \right)} + 3 \cos{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

4x2sin⁡(x)+3xsin⁡(x)+8xcos⁡(x)−7sin⁡(x)+3cos⁡(x)+constant4 x^{2} \sin{\left(x \right)} + 3 x \sin{\left(x \right)} + 8 x \cos{\left(x \right)} - 7 \sin{\left(x \right)} + 3 \cos{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                                                            
 |                                                                                             
 | /   2          \                                                       2                    
 | \4*x  + 3*x + 1/*cos(x) dx = C - 7*sin(x) + 3*cos(x) + 3*x*sin(x) + 4*x *sin(x) + 8*x*cos(x)
 |                                                                                             
/
∫((4x2+3x)+1)cos⁡(x) dx=C+4x2sin⁡(x)+3xsin⁡(x)+8xcos⁡(x)−7sin⁡(x)+3cos⁡(x)\int \left(\left(4 x^{2} + 3 x\right) + 1\right) \cos{\left(x \right)}\, dx = C + 4 x^{2} \sin{\left(x \right)} + 3 x \sin{\left(x \right)} + 8 x \cos{\left(x \right)} - 7 \sin{\left(x \right)} + 3 \cos{\left(x \right)}
Simplificar
Gráfica
0.00.51.01.52.02.53.03.54.04.55.05.56.0-500500
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
16*pi
16π16 \pi 
=
= 
16*pi
16π16 \pi 
16*pi
Respuesta numérica [src] 
50.2654824574366
50.2654824574366

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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