Sr Examen

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Otras calculadoras

¿Cómo usar?
Integral de d{x}:
Integral de 1/(y+y^3)
Integral de 1/4x+3
Integral de (1-2*x)*exp(-2*x)
Integral de (1-2*x)/x^2
Expresiones idénticas
x*ln(x+ uno /x)
x multiplicar por ln(x más 1 dividir por x)
x multiplicar por ln(x más uno dividir por x)
xln(x+1/x)
xlnx+1/x
x*ln(x+1 dividir por x)
x*ln(x+1/x)dx
Expresiones semejantes
x*ln(x-1/x)
1/(sqrt(x))*ln((x+1)/(x-1))
Expresiones con funciones
ln
ln(x)*dx
ln(x+sqrt(1+x^2))dx
ln(x)ln(1-x)
ln(x)^3/x
ln((x+3)/(x+1))

Resolución de integrales/ x+1/x/ x*ln(x+1/x)

Integral de x*ln(x+1/x) dx

Solución

Ha introducido [src]

  1                
  /                
 |                 
 |       /    1\   
 |  x*log|x + -| dx
 |       \    x/   
 |                 
/                  
0

$$\int\limits_{0}^{1} x \log{\left(x + \frac{1}{x} \right)}\, dx$$

Integral(x*log(x + 1/x), (x, 0, 1))

Solución detallada

Usamos la integración por partes:

$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

que $u{\left(x \right)} = \log{\left(x + \frac{1}{x} \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = x$ .

Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1 - \frac{1}{x^{2}}}{x + \frac{1}{x}}$ .

Para buscar $v{\left(x \right)}$ :
1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
  
  $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$
Ahora resolvemos podintegral.
La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

$\int \frac{x^{2} \left(1 - \frac{1}{x^{2}}\right)}{2 \left(x + \frac{1}{x}\right)}\, dx = \frac{\int \frac{x^{2} \left(1 - \frac{1}{x^{2}}\right)}{x + \frac{1}{x}}\, dx}{2}$
1. Hay varias maneras de calcular esta integral.
  Método #1
  1. que $u = \frac{1}{x}$ .
    
    Luego que $du = - \frac{dx}{x^{2}}$ y ponemos $du$ :
    
    $\int \frac{u^{2} - 1}{u^{5} + u^{3}}\, du$
    1. Vuelva a escribir el integrando:
      
      $\frac{u^{2} - 1}{u^{5} + u^{3}} = - \frac{2 u}{u^{2} + 1} + \frac{2}{u} - \frac{1}{u^{3}}$
    2. Integramos término a término:
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \left(- \frac{2 u}{u^{2} + 1}\right)\, du = - 2 \int \frac{u}{u^{2} + 1}\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \frac{u}{u^{2} + 1}\, du = \frac{\int \frac{2 u}{u^{2} + 1}\, du}{2}$
      
      que $u = u^{2} + 1$ .
      
      Luego que $du = 2 u du$ y ponemos $\frac{du}{2}$ :
      
      $\int \frac{1}{2 u}\, du$
      
      Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$ .
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\log{\left(u^{2} + 1 \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u^{2} + 1 \right)}}{2}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \log{\left(u^{2} + 1 \right)}$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \frac{2}{u}\, du = 2 \int \frac{1}{u}\, du$
      
      Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$ .
      
      Por lo tanto, el resultado es: $2 \log{\left(u \right)}$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \left(- \frac{1}{u^{3}}\right)\, du = - \int \frac{1}{u^{3}}\, du$
      
      Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int \frac{1}{u^{3}}\, du = - \frac{1}{2 u^{2}}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{1}{2 u^{2}}$
      
      El resultado es: $2 \log{\left(u \right)} - \log{\left(u^{2} + 1 \right)} + \frac{1}{2 u^{2}}$
    Si ahora sustituir $u$ más en:
    
    $\frac{x^{2}}{2} - 2 \log{\left(x \right)} - \log{\left(1 + \frac{1}{x^{2}} \right)}$
  Método #2
  1. Vuelva a escribir el integrando:
    
    $\frac{x^{2} \left(1 - \frac{1}{x^{2}}\right)}{x + \frac{1}{x}} = x - \frac{2 x}{x^{2} + 1}$
  2. Integramos término a término:
    1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$
    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \left(- \frac{2 x}{x^{2} + 1}\right)\, dx = - 2 \int \frac{x}{x^{2} + 1}\, dx$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \frac{x}{x^{2} + 1}\, dx = \frac{\int \frac{2 x}{x^{2} + 1}\, dx}{2}$
      
      que $u = x^{2} + 1$ .
      
      Luego que $du = 2 x dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$ :
      
      $\int \frac{1}{2 u}\, du$
      
      Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$ .
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\log{\left(x^{2} + 1 \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{2}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \log{\left(x^{2} + 1 \right)}$
    El resultado es: $\frac{x^{2}}{2} - \log{\left(x^{2} + 1 \right)}$
  Método #3
  1. Vuelva a escribir el integrando:
    
    $\frac{x^{2} \left(1 - \frac{1}{x^{2}}\right)}{x + \frac{1}{x}} = \frac{x^{3} - x}{x^{2} + 1}$
  2. Vuelva a escribir el integrando:
    
    $\frac{x^{3} - x}{x^{2} + 1} = x - \frac{2 x}{x^{2} + 1}$
  3. Integramos término a término:
    1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$
    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \left(- \frac{2 x}{x^{2} + 1}\right)\, dx = - 2 \int \frac{x}{x^{2} + 1}\, dx$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \frac{x}{x^{2} + 1}\, dx = \frac{\int \frac{2 x}{x^{2} + 1}\, dx}{2}$
      
      que $u = x^{2} + 1$ .
      
      Luego que $du = 2 x dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$ :
      
      $\int \frac{1}{2 u}\, du$
      
      Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$ .
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\log{\left(x^{2} + 1 \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{2}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \log{\left(x^{2} + 1 \right)}$
    El resultado es: $\frac{x^{2}}{2} - \log{\left(x^{2} + 1 \right)}$
  Método #4
  1. Vuelva a escribir el integrando:
    
    $\frac{x^{2} \left(1 - \frac{1}{x^{2}}\right)}{x + \frac{1}{x}} = \frac{x^{2}}{x + \frac{1}{x}} - \frac{1}{x + \frac{1}{x}}$
  2. Integramos término a término:
    1. Vuelva a escribir el integrando:
      
      $\frac{x^{2}}{x + \frac{1}{x}} = x - \frac{x}{x^{2} + 1}$
    2. Integramos término a término:
      
      Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \left(- \frac{x}{x^{2} + 1}\right)\, dx = - \int \frac{x}{x^{2} + 1}\, dx$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \frac{x}{x^{2} + 1}\, dx = \frac{\int \frac{2 x}{x^{2} + 1}\, dx}{2}$
      
      que $u = x^{2} + 1$ .
      
      Luego que $du = 2 x dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$ :
      
      $\int \frac{1}{2 u}\, du$
      
      Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$ .
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\log{\left(x^{2} + 1 \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{2}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{2}$
      
      El resultado es: $\frac{x^{2}}{2} - \frac{\log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{2}$
    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \left(- \frac{1}{x + \frac{1}{x}}\right)\, dx = - \int \frac{1}{x + \frac{1}{x}}\, dx$
      
      Hay varias maneras de calcular esta integral.
      
      Método #1
      
      Vuelva a escribir el integrando:
      
      $\frac{1}{x + \frac{1}{x}} = \frac{x}{x^{2} + 1}$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \frac{x}{x^{2} + 1}\, dx = \frac{\int \frac{2 x}{x^{2} + 1}\, dx}{2}$
      
      que $u = x^{2} + 1$ .
      
      Luego que $du = 2 x dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$ :
      
      $\int \frac{1}{2 u}\, du$
      
      Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$ .
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\log{\left(x^{2} + 1 \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{2}$
      
      Método #2
      
      Vuelva a escribir el integrando:
      
      $\frac{1}{x + \frac{1}{x}} = \frac{x}{x^{2} + 1}$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \frac{x}{x^{2} + 1}\, dx = \frac{\int \frac{2 x}{x^{2} + 1}\, dx}{2}$
      
      que $u = x^{2} + 1$ .
      
      Luego que $du = 2 x dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$ :
      
      $\int \frac{1}{2 u}\, du$
      
      Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$ .
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\log{\left(x^{2} + 1 \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{2}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{2}$
    El resultado es: $\frac{x^{2}}{2} - \log{\left(x^{2} + 1 \right)}$
Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x^{2}}{4} - \log{\left(x \right)} - \frac{\log{\left(1 + \frac{1}{x^{2}} \right)}}{2}$
Añadimos la constante de integración:

$\frac{x^{2} \log{\left(x + \frac{1}{x} \right)}}{2} - \frac{x^{2}}{4} + \log{\left(x \right)} + \frac{\log{\left(1 + \frac{1}{x^{2}} \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{x^{2} \log{\left(x + \frac{1}{x} \right)}}{2} - \frac{x^{2}}{4} + \log{\left(x \right)} + \frac{\log{\left(1 + \frac{1}{x^{2}} \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$

Respuesta (Indefinida) [src]

                            /    1 \                              
  /                      log|1 + --|         2    /    1\         
 |                          |     2|    2   x *log|x + -|         
 |      /    1\             \    x /   x          \    x/         
 | x*log|x + -| dx = C + ----------- - -- + ------------- + log(x)
 |      \    x/               2        4          2               
 |                                                                
/

$$\int x \log{\left(x + \frac{1}{x} \right)}\, dx = C + \frac{x^{2} \log{\left(x + \frac{1}{x} \right)}}{2} - \frac{x^{2}}{4} + \log{\left(x \right)} + \frac{\log{\left(1 + \frac{1}{x^{2}} \right)}}{2}$$

Simplificar

Gráfica

Trazar el gráfico f(x)

Respuesta [src]

-1/4 + log(2)

$$- \frac{1}{4} + \log{\left(2 \right)}$$

-1/4 + log(2)

$$- \frac{1}{4} + \log{\left(2 \right)}$$

-1/4 + log(2)

Respuesta numérica [src]

0.443147180559945

0.443147180559945

Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

Otras calculadoras

¿Cómo usar?

Expresiones idénticas

Expresiones semejantes

Expresiones con funciones

Integral de x*ln(x+1/x) dx

Límites de integración:

Gráfico:

Definida a trozos:

Solución

Método #1

Método #2

Método #3

Método #4

Método #1

Método #2