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Resolución de integrales/ x+1/x/ x*ln(x+1/x)

Integral de x*ln(x+1/x) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                
  /                
 |                 
 |       /    1\   
 |  x*log|x + -| dx
 |       \    x/   
 |                 
/                  
0
∫01xlog⁡(x+1x) dx\int\limits_{0}^{1} x \log{\left(x + \frac{1}{x} \right)}\, dx 
Integral(x*log(x + 1/x), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Usamos la integración por partes:

    ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

    que u(x)=log⁡(x+1x)u{\left(x \right)} = \log{\left(x + \frac{1}{x} \right)} y que dv⁡(x)=x\operatorname{dv}{\left(x \right)} = x.

    Entonces du⁡(x)=1−1x2x+1x\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1 - \frac{1}{x^{2}}}{x + \frac{1}{x}}.

    Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

    1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

      ∫x dx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

    Ahora resolvemos podintegral.

  2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

    ∫x2(1−1x2)2(x+1x) dx=∫x2(1−1x2)x+1x dx2\int \frac{x^{2} \left(1 - \frac{1}{x^{2}}\right)}{2 \left(x + \frac{1}{x}\right)}\, dx = \frac{\int \frac{x^{2} \left(1 - \frac{1}{x^{2}}\right)}{x + \frac{1}{x}}\, dx}{2}

    1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. que u=1xu = \frac{1}{x}.

        Luego que du=−dxx2du = - \frac{dx}{x^{2}} y ponemos dudu:

        ∫u2−1u5+u3 du\int \frac{u^{2} - 1}{u^{5} + u^{3}}\, du

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          u2−1u5+u3=−2uu2+1+2u−1u3\frac{u^{2} - 1}{u^{5} + u^{3}} = - \frac{2 u}{u^{2} + 1} + \frac{2}{u} - \frac{1}{u^{3}}

        2. Integramos término a término:

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫(−2uu2+1) du=−2∫uu2+1 du\int \left(- \frac{2 u}{u^{2} + 1}\right)\, du = - 2 \int \frac{u}{u^{2} + 1}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫uu2+1 du=∫2uu2+1 du2\int \frac{u}{u^{2} + 1}\, du = \frac{\int \frac{2 u}{u^{2} + 1}\, du}{2}

              1. que u=u2+1u = u^{2} + 1.

                Luego que du=2ududu = 2 u du y ponemos du2\frac{du}{2}:

                ∫12u du\int \frac{1}{2 u}\, du

                1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

                Si ahora sustituir uu más en:

                log⁡(u2+1)\log{\left(u^{2} + 1 \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: log⁡(u2+1)2\frac{\log{\left(u^{2} + 1 \right)}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: −log⁡(u2+1)- \log{\left(u^{2} + 1 \right)}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫2u du=2∫1u du\int \frac{2}{u}\, du = 2 \int \frac{1}{u}\, du

            1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

            Por lo tanto, el resultado es: 2log⁡(u)2 \log{\left(u \right)}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫(−1u3) du=−∫1u3 du\int \left(- \frac{1}{u^{3}}\right)\, du = - \int \frac{1}{u^{3}}\, du

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫1u3 du=−12u2\int \frac{1}{u^{3}}\, du = - \frac{1}{2 u^{2}}

            Por lo tanto, el resultado es: 12u2\frac{1}{2 u^{2}}

          El resultado es: 2log⁡(u)−log⁡(u2+1)+12u22 \log{\left(u \right)} - \log{\left(u^{2} + 1 \right)} + \frac{1}{2 u^{2}}

        Si ahora sustituir uu más en:

        x22−2log⁡(x)−log⁡(1+1x2)\frac{x^{2}}{2} - 2 \log{\left(x \right)} - \log{\left(1 + \frac{1}{x^{2}} \right)}

      Método #2

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        x2(1−1x2)x+1x=x−2xx2+1\frac{x^{2} \left(1 - \frac{1}{x^{2}}\right)}{x + \frac{1}{x}} = x - \frac{2 x}{x^{2} + 1}

      2. Integramos término a término:

        1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫x dx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−2xx2+1) dx=−2∫xx2+1 dx\int \left(- \frac{2 x}{x^{2} + 1}\right)\, dx = - 2 \int \frac{x}{x^{2} + 1}\, dx

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫xx2+1 dx=∫2xx2+1 dx2\int \frac{x}{x^{2} + 1}\, dx = \frac{\int \frac{2 x}{x^{2} + 1}\, dx}{2}

            1. que u=x2+1u = x^{2} + 1.

              Luego que du=2xdxdu = 2 x dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

              ∫12u du\int \frac{1}{2 u}\, du

              1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

              Si ahora sustituir uu más en:

              log⁡(x2+1)\log{\left(x^{2} + 1 \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: log⁡(x2+1)2\frac{\log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{2}

          Por lo tanto, el resultado es: −log⁡(x2+1)- \log{\left(x^{2} + 1 \right)}

        El resultado es: x22−log⁡(x2+1)\frac{x^{2}}{2} - \log{\left(x^{2} + 1 \right)}

      Método #3

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        x2(1−1x2)x+1x=x3−xx2+1\frac{x^{2} \left(1 - \frac{1}{x^{2}}\right)}{x + \frac{1}{x}} = \frac{x^{3} - x}{x^{2} + 1}

      2. Vuelva a escribir el integrando:

        x3−xx2+1=x−2xx2+1\frac{x^{3} - x}{x^{2} + 1} = x - \frac{2 x}{x^{2} + 1}

      3. Integramos término a término:

        1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫x dx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−2xx2+1) dx=−2∫xx2+1 dx\int \left(- \frac{2 x}{x^{2} + 1}\right)\, dx = - 2 \int \frac{x}{x^{2} + 1}\, dx

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫xx2+1 dx=∫2xx2+1 dx2\int \frac{x}{x^{2} + 1}\, dx = \frac{\int \frac{2 x}{x^{2} + 1}\, dx}{2}

            1. que u=x2+1u = x^{2} + 1.

              Luego que du=2xdxdu = 2 x dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

              ∫12u du\int \frac{1}{2 u}\, du

              1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

              Si ahora sustituir uu más en:

              log⁡(x2+1)\log{\left(x^{2} + 1 \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: log⁡(x2+1)2\frac{\log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{2}

          Por lo tanto, el resultado es: −log⁡(x2+1)- \log{\left(x^{2} + 1 \right)}

        El resultado es: x22−log⁡(x2+1)\frac{x^{2}}{2} - \log{\left(x^{2} + 1 \right)}

      Método #4

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        x2(1−1x2)x+1x=x2x+1x−1x+1x\frac{x^{2} \left(1 - \frac{1}{x^{2}}\right)}{x + \frac{1}{x}} = \frac{x^{2}}{x + \frac{1}{x}} - \frac{1}{x + \frac{1}{x}}

      2. Integramos término a término:

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          x2x+1x=x−xx2+1\frac{x^{2}}{x + \frac{1}{x}} = x - \frac{x}{x^{2} + 1}

        2. Integramos término a término:

          1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫x dx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫(−xx2+1) dx=−∫xx2+1 dx\int \left(- \frac{x}{x^{2} + 1}\right)\, dx = - \int \frac{x}{x^{2} + 1}\, dx

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫xx2+1 dx=∫2xx2+1 dx2\int \frac{x}{x^{2} + 1}\, dx = \frac{\int \frac{2 x}{x^{2} + 1}\, dx}{2}

              1. que u=x2+1u = x^{2} + 1.

                Luego que du=2xdxdu = 2 x dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

                ∫12u du\int \frac{1}{2 u}\, du

                1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

                Si ahora sustituir uu más en:

                log⁡(x2+1)\log{\left(x^{2} + 1 \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: log⁡(x2+1)2\frac{\log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: −log⁡(x2+1)2- \frac{\log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{2}

          El resultado es: x22−log⁡(x2+1)2\frac{x^{2}}{2} - \frac{\log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{2}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−1x+1x) dx=−∫1x+1x dx\int \left(- \frac{1}{x + \frac{1}{x}}\right)\, dx = - \int \frac{1}{x + \frac{1}{x}}\, dx

          1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

            Método #1

            1. Vuelva a escribir el integrando:

              1x+1x=xx2+1\frac{1}{x + \frac{1}{x}} = \frac{x}{x^{2} + 1}

            2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫xx2+1 dx=∫2xx2+1 dx2\int \frac{x}{x^{2} + 1}\, dx = \frac{\int \frac{2 x}{x^{2} + 1}\, dx}{2}

              1. que u=x2+1u = x^{2} + 1.

                Luego que du=2xdxdu = 2 x dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

                ∫12u du\int \frac{1}{2 u}\, du

                1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

                Si ahora sustituir uu más en:

                log⁡(x2+1)\log{\left(x^{2} + 1 \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: log⁡(x2+1)2\frac{\log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{2}

            Método #2

            1. Vuelva a escribir el integrando:

              1x+1x=xx2+1\frac{1}{x + \frac{1}{x}} = \frac{x}{x^{2} + 1}

            2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫xx2+1 dx=∫2xx2+1 dx2\int \frac{x}{x^{2} + 1}\, dx = \frac{\int \frac{2 x}{x^{2} + 1}\, dx}{2}

              1. que u=x2+1u = x^{2} + 1.

                Luego que du=2xdxdu = 2 x dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

                ∫12u du\int \frac{1}{2 u}\, du

                1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

                Si ahora sustituir uu más en:

                log⁡(x2+1)\log{\left(x^{2} + 1 \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: log⁡(x2+1)2\frac{\log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{2}

          Por lo tanto, el resultado es: −log⁡(x2+1)2- \frac{\log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{2}

        El resultado es: x22−log⁡(x2+1)\frac{x^{2}}{2} - \log{\left(x^{2} + 1 \right)}

    Por lo tanto, el resultado es: x24−log⁡(x)−log⁡(1+1x2)2\frac{x^{2}}{4} - \log{\left(x \right)} - \frac{\log{\left(1 + \frac{1}{x^{2}} \right)}}{2}

  3. Añadimos la constante de integración:

    x2log⁡(x+1x)2−x24+log⁡(x)+log⁡(1+1x2)2+constant\frac{x^{2} \log{\left(x + \frac{1}{x} \right)}}{2} - \frac{x^{2}}{4} + \log{\left(x \right)} + \frac{\log{\left(1 + \frac{1}{x^{2}} \right)}}{2}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

x2log⁡(x+1x)2−x24+log⁡(x)+log⁡(1+1x2)2+constant\frac{x^{2} \log{\left(x + \frac{1}{x} \right)}}{2} - \frac{x^{2}}{4} + \log{\left(x \right)} + \frac{\log{\left(1 + \frac{1}{x^{2}} \right)}}{2}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
                            /    1 \                              
  /                      log|1 + --|         2    /    1\         
 |                          |     2|    2   x *log|x + -|         
 |      /    1\             \    x /   x          \    x/         
 | x*log|x + -| dx = C + ----------- - -- + ------------- + log(x)
 |      \    x/               2        4          2               
 |                                                                
/
∫xlog⁡(x+1x) dx=C+x2log⁡(x+1x)2−x24+log⁡(x)+log⁡(1+1x2)2\int x \log{\left(x + \frac{1}{x} \right)}\, dx = C + \frac{x^{2} \log{\left(x + \frac{1}{x} \right)}}{2} - \frac{x^{2}}{4} + \log{\left(x \right)} + \frac{\log{\left(1 + \frac{1}{x^{2}} \right)}}{2}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.900.01.0
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
-1/4 + log(2)
−14+log⁡(2)- \frac{1}{4} + \log{\left(2 \right)} 
=
= 
-1/4 + log(2)
−14+log⁡(2)- \frac{1}{4} + \log{\left(2 \right)} 
-1/4 + log(2)
Respuesta numérica [src] 
0.443147180559945
0.443147180559945

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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