Integral de cos(3*x)*sin(x)+sin^2(2x) dx

1. Integramos término a término:

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\sin{\left(x \right)} \cos{\left(3 x \right)} = 4 \sin{\left(x \right)} \cos^{3}{\left(x \right)} - 3 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 4 \sin{\left(x \right)} \cos^{3}{\left(x \right)}\, dx = 4 \int \sin{\left(x \right)} \cos^{3}{\left(x \right)}\, dx$

         1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

            Método #1

            1. que $u = \cos{\left(x \right)}$.

               Luego que $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- du$:

               $\int \left(- u^{3}\right)\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int u^{3}\, du = - \int u^{3}\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{4}}{4}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $- \frac{\cos^{4}{\left(x \right)}}{4}$

            Método #2

            1. Vuelva a escribir el integrando:

               $\sin{\left(x \right)} \cos^{3}{\left(x \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right) \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}$

            2. que $u = \sin^{2}{\left(x \right)}$.

               Luego que $du = 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

               $\int \left(\frac{1}{2} - \frac{u}{2}\right)\, du$

               1. Integramos término a término:

                  1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                     $\int \frac{1}{2}\, du = \frac{u}{2}$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \left(- \frac{u}{2}\right)\, du = - \frac{\int u\, du}{2}$

                     1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                        $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{2}}{4}$

                  El resultado es: $- \frac{u^{2}}{4} + \frac{u}{2}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $- \frac{\sin^{4}{\left(x \right)}}{4} + \frac{\sin^{2}{\left(x \right)}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \cos^{4}{\left(x \right)}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 3 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - 3 \int \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$

         1. que $u = \cos{\left(x \right)}$.

            Luego que $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- du$:

            $\int \left(- u\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int u\, du = - \int u\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{2}}{2}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3 \cos^{2}{\left(x \right)}}{2}$

      El resultado es: $- \cos^{4}{\left(x \right)} + \frac{3 \cos^{2}{\left(x \right)}}{2}$

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\sin^{2}{\left(2 x \right)} = \frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(4 x \right)}\, dx}{2}$

         1. que $u = 4 x$.

            Luego que $du = 4 dx$ y ponemos $\frac{du}{4}$:

            $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}$

               1. La integral del coseno es seno:

                  $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}$

      El resultado es: $\frac{x}{2} - \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}$

   El resultado es: $\frac{x}{2} - \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8} - \cos^{4}{\left(x \right)} + \frac{3 \cos^{2}{\left(x \right)}}{2}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{x}{2} - \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8} - \cos^{4}{\left(x \right)} + \frac{3 \cos^{2}{\left(x \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{x}{2} - \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8} - \cos^{4}{\left(x \right)} + \frac{3 \cos^{2}{\left(x \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$