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Integral de cos(3*x)*sin(x)+sin^2(2x) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
 pi                                 
 --                                 
 2                                  
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 |  \cos(3*x)*sin(x) + sin (2*x)/ dx
 |                                  
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0                                   
0π2(sin(x)cos(3x)+sin2(2x))dx\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} \left(\sin{\left(x \right)} \cos{\left(3 x \right)} + \sin^{2}{\left(2 x \right)}\right)\, dx
Integral(cos(3*x)*sin(x) + sin(2*x)^2, (x, 0, pi/2))
Solución detallada
  1. Integramos término a término:

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      sin(x)cos(3x)=4sin(x)cos3(x)3sin(x)cos(x)\sin{\left(x \right)} \cos{\left(3 x \right)} = 4 \sin{\left(x \right)} \cos^{3}{\left(x \right)} - 3 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        4sin(x)cos3(x)dx=4sin(x)cos3(x)dx\int 4 \sin{\left(x \right)} \cos^{3}{\left(x \right)}\, dx = 4 \int \sin{\left(x \right)} \cos^{3}{\left(x \right)}\, dx

        1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

          Método #1

          1. que u=cos(x)u = \cos{\left(x \right)}.

            Luego que du=sin(x)dxdu = - \sin{\left(x \right)} dx y ponemos du- du:

            (u3)du\int \left(- u^{3}\right)\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              u3du=u3du\int u^{3}\, du = - \int u^{3}\, du

              1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n1n \neq -1:

                u3du=u44\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}

              Por lo tanto, el resultado es: u44- \frac{u^{4}}{4}

            Si ahora sustituir uu más en:

            cos4(x)4- \frac{\cos^{4}{\left(x \right)}}{4}

          Método #2

          1. Vuelva a escribir el integrando:

            sin(x)cos3(x)=(1sin2(x))sin(x)cos(x)\sin{\left(x \right)} \cos^{3}{\left(x \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right) \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}

          2. que u=sin2(x)u = \sin^{2}{\left(x \right)}.

            Luego que du=2sin(x)cos(x)dxdu = 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

            (12u2)du\int \left(\frac{1}{2} - \frac{u}{2}\right)\, du

            1. Integramos término a término:

              1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                12du=u2\int \frac{1}{2}\, du = \frac{u}{2}

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                (u2)du=udu2\int \left(- \frac{u}{2}\right)\, du = - \frac{\int u\, du}{2}

                1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n1n \neq -1:

                  udu=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

                Por lo tanto, el resultado es: u24- \frac{u^{2}}{4}

              El resultado es: u24+u2- \frac{u^{2}}{4} + \frac{u}{2}

            Si ahora sustituir uu más en:

            sin4(x)4+sin2(x)2- \frac{\sin^{4}{\left(x \right)}}{4} + \frac{\sin^{2}{\left(x \right)}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: cos4(x)- \cos^{4}{\left(x \right)}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        (3sin(x)cos(x))dx=3sin(x)cos(x)dx\int \left(- 3 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - 3 \int \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx

        1. que u=cos(x)u = \cos{\left(x \right)}.

          Luego que du=sin(x)dxdu = - \sin{\left(x \right)} dx y ponemos du- du:

          (u)du\int \left(- u\right)\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            udu=udu\int u\, du = - \int u\, du

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n1n \neq -1:

              udu=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: u22- \frac{u^{2}}{2}

          Si ahora sustituir uu más en:

          cos2(x)2- \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: 3cos2(x)2\frac{3 \cos^{2}{\left(x \right)}}{2}

      El resultado es: cos4(x)+3cos2(x)2- \cos^{4}{\left(x \right)} + \frac{3 \cos^{2}{\left(x \right)}}{2}

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      sin2(2x)=12cos(4x)2\sin^{2}{\left(2 x \right)} = \frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

        12dx=x2\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        (cos(4x)2)dx=cos(4x)dx2\int \left(- \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(4 x \right)}\, dx}{2}

        1. que u=4xu = 4 x.

          Luego que du=4dxdu = 4 dx y ponemos du4\frac{du}{4}:

          cos(u)4du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            cos(u)du=cos(u)du4\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}

            1. La integral del coseno es seno:

              cos(u)du=sin(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: sin(u)4\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}

          Si ahora sustituir uu más en:

          sin(4x)4\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}

        Por lo tanto, el resultado es: sin(4x)8- \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}

      El resultado es: x2sin(4x)8\frac{x}{2} - \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}

    El resultado es: x2sin(4x)8cos4(x)+3cos2(x)2\frac{x}{2} - \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8} - \cos^{4}{\left(x \right)} + \frac{3 \cos^{2}{\left(x \right)}}{2}

  2. Añadimos la constante de integración:

    x2sin(4x)8cos4(x)+3cos2(x)2+constant\frac{x}{2} - \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8} - \cos^{4}{\left(x \right)} + \frac{3 \cos^{2}{\left(x \right)}}{2}+ \mathrm{constant}


Respuesta:

x2sin(4x)8cos4(x)+3cos2(x)2+constant\frac{x}{2} - \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8} - \cos^{4}{\left(x \right)} + \frac{3 \cos^{2}{\left(x \right)}}{2}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src]
  /                                                                         
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 | /                     2     \          x      4      sin(4*x)   3*cos (x)
 | \cos(3*x)*sin(x) + sin (2*x)/ dx = C + - - cos (x) - -------- + ---------
 |                                        2                8           2    
/                                                                           
(sin(x)cos(3x)+sin2(2x))dx=C+x2sin(4x)8cos4(x)+3cos2(x)2\int \left(\sin{\left(x \right)} \cos{\left(3 x \right)} + \sin^{2}{\left(2 x \right)}\right)\, dx = C + \frac{x}{2} - \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8} - \cos^{4}{\left(x \right)} + \frac{3 \cos^{2}{\left(x \right)}}{2}
Gráfica
0.00.10.20.30.40.50.60.70.80.91.01.11.21.31.41.51-1
Respuesta [src]
  1   pi
- - + --
  2   4 
12+π4- \frac{1}{2} + \frac{\pi}{4}
=
=
  1   pi
- - + --
  2   4 
12+π4- \frac{1}{2} + \frac{\pi}{4}
-1/2 + pi/4
Respuesta numérica [src]
0.285398163397448
0.285398163397448

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.