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Resolución de integrales/ sin^2/ sin(x)/ cos(3*x)/ cos(3*x)*sin(x)+sin^2(2x)

Integral de cos(3*x)*sin(x)+sin^2(2x) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
 pi                                 
 --                                 
 2                                  
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 |                                  
 |  /                     2     \   
 |  \cos(3*x)*sin(x) + sin (2*x)/ dx
 |                                  
/                                   
0
∫0π2(sin⁡(x)cos⁡(3x)+sin⁡2(2x)) dx\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} \left(\sin{\left(x \right)} \cos{\left(3 x \right)} + \sin^{2}{\left(2 x \right)}\right)\, dx 
Integral(cos(3*x)*sin(x) + sin(2*x)^2, (x, 0, pi/2))
Solución detallada

  1. Integramos término a término:

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      sin⁡(x)cos⁡(3x)=4sin⁡(x)cos⁡3(x)−3sin⁡(x)cos⁡(x)\sin{\left(x \right)} \cos{\left(3 x \right)} = 4 \sin{\left(x \right)} \cos^{3}{\left(x \right)} - 3 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫4sin⁡(x)cos⁡3(x) dx=4∫sin⁡(x)cos⁡3(x) dx\int 4 \sin{\left(x \right)} \cos^{3}{\left(x \right)}\, dx = 4 \int \sin{\left(x \right)} \cos^{3}{\left(x \right)}\, dx

        1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

          Método #1

          1. que u=cos⁡(x)u = \cos{\left(x \right)}.

            Luego que du=−sin⁡(x)dxdu = - \sin{\left(x \right)} dx y ponemos −du- du:

            ∫(−u3) du\int \left(- u^{3}\right)\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫u3 du=−∫u3 du\int u^{3}\, du = - \int u^{3}\, du

              1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                ∫u3 du=u44\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}

              Por lo tanto, el resultado es: −u44- \frac{u^{4}}{4}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −cos⁡4(x)4- \frac{\cos^{4}{\left(x \right)}}{4}

          Método #2

          1. Vuelva a escribir el integrando:

            sin⁡(x)cos⁡3(x)=(1−sin⁡2(x))sin⁡(x)cos⁡(x)\sin{\left(x \right)} \cos^{3}{\left(x \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right) \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}

          2. que u=sin⁡2(x)u = \sin^{2}{\left(x \right)}.

            Luego que du=2sin⁡(x)cos⁡(x)dxdu = 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

            ∫(12−u2) du\int \left(\frac{1}{2} - \frac{u}{2}\right)\, du

            1. Integramos término a término:

              1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                ∫12 du=u2\int \frac{1}{2}\, du = \frac{u}{2}

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫(−u2) du=−∫u du2\int \left(- \frac{u}{2}\right)\, du = - \frac{\int u\, du}{2}

                1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                  ∫u du=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

                Por lo tanto, el resultado es: −u24- \frac{u^{2}}{4}

              El resultado es: −u24+u2- \frac{u^{2}}{4} + \frac{u}{2}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −sin⁡4(x)4+sin⁡2(x)2- \frac{\sin^{4}{\left(x \right)}}{4} + \frac{\sin^{2}{\left(x \right)}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡4(x)- \cos^{4}{\left(x \right)}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−3sin⁡(x)cos⁡(x)) dx=−3∫sin⁡(x)cos⁡(x) dx\int \left(- 3 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - 3 \int \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx

        1. que u=cos⁡(x)u = \cos{\left(x \right)}.

          Luego que du=−sin⁡(x)dxdu = - \sin{\left(x \right)} dx y ponemos −du- du:

          ∫(−u) du\int \left(- u\right)\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫u du=−∫u du\int u\, du = - \int u\, du

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫u du=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: −u22- \frac{u^{2}}{2}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −cos⁡2(x)2- \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: 3cos⁡2(x)2\frac{3 \cos^{2}{\left(x \right)}}{2}

      El resultado es: −cos⁡4(x)+3cos⁡2(x)2- \cos^{4}{\left(x \right)} + \frac{3 \cos^{2}{\left(x \right)}}{2}

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      sin⁡2(2x)=12−cos⁡(4x)2\sin^{2}{\left(2 x \right)} = \frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

        ∫12 dx=x2\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−cos⁡(4x)2) dx=−∫cos⁡(4x) dx2\int \left(- \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(4 x \right)}\, dx}{2}

        1. que u=4xu = 4 x.

          Luego que du=4dxdu = 4 dx y ponemos du4\frac{du}{4}:

          ∫cos⁡(u)4 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du4\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}

            1. La integral del coseno es seno:

              ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)4\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}

          Si ahora sustituir uu más en:

          sin⁡(4x)4\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}

        Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡(4x)8- \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}

      El resultado es: x2−sin⁡(4x)8\frac{x}{2} - \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}

    El resultado es: x2−sin⁡(4x)8−cos⁡4(x)+3cos⁡2(x)2\frac{x}{2} - \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8} - \cos^{4}{\left(x \right)} + \frac{3 \cos^{2}{\left(x \right)}}{2}

  2. Añadimos la constante de integración:

    x2−sin⁡(4x)8−cos⁡4(x)+3cos⁡2(x)2+constant\frac{x}{2} - \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8} - \cos^{4}{\left(x \right)} + \frac{3 \cos^{2}{\left(x \right)}}{2}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

x2−sin⁡(4x)8−cos⁡4(x)+3cos⁡2(x)2+constant\frac{x}{2} - \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8} - \cos^{4}{\left(x \right)} + \frac{3 \cos^{2}{\left(x \right)}}{2}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                                         
 |                                                                      2   
 | /                     2     \          x      4      sin(4*x)   3*cos (x)
 | \cos(3*x)*sin(x) + sin (2*x)/ dx = C + - - cos (x) - -------- + ---------
 |                                        2                8           2    
/
∫(sin⁡(x)cos⁡(3x)+sin⁡2(2x)) dx=C+x2−sin⁡(4x)8−cos⁡4(x)+3cos⁡2(x)2\int \left(\sin{\left(x \right)} \cos{\left(3 x \right)} + \sin^{2}{\left(2 x \right)}\right)\, dx = C + \frac{x}{2} - \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8} - \cos^{4}{\left(x \right)} + \frac{3 \cos^{2}{\left(x \right)}}{2}
Simplificar
Gráfica
0.00.10.20.30.40.50.60.70.80.91.01.11.21.31.41.51-1
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
  1   pi
- - + --
  2   4
−12+π4- \frac{1}{2} + \frac{\pi}{4} 
=
= 
  1   pi
- - + --
  2   4
−12+π4- \frac{1}{2} + \frac{\pi}{4} 
-1/2 + pi/4
Respuesta numérica [src] 
0.285398163397448
0.285398163397448

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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