Integral de ((2+3*x^3)^3)/sqrt(x) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \sqrt{x}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{2 \sqrt{x}}$ y ponemos $du$:

      $\int \left(54 u^{18} + 108 u^{12} + 72 u^{6} + 16\right)\, du$

      1. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 54 u^{18}\, du = 54 \int u^{18}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{18}\, du = \frac{u^{19}}{19}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{54 u^{19}}{19}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 108 u^{12}\, du = 108 \int u^{12}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{12}\, du = \frac{u^{13}}{13}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{108 u^{13}}{13}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 72 u^{6}\, du = 72 \int u^{6}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{72 u^{7}}{7}$

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int 16\, du = 16 u$

         El resultado es: $\frac{54 u^{19}}{19} + \frac{108 u^{13}}{13} + \frac{72 u^{7}}{7} + 16 u$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{54 x^{\frac{19}{2}}}{19} + \frac{108 x^{\frac{13}{2}}}{13} + \frac{72 x^{\frac{7}{2}}}{7} + 16 \sqrt{x}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{\left(3 x^{3} + 2\right)^{3}}{\sqrt{x}} = \frac{27 x^{9} + 54 x^{6} + 36 x^{3} + 8}{\sqrt{x}}$

   2. que $u = \frac{1}{\sqrt{x}}$.

      Luego que $du = - \frac{dx}{2 x^{\frac{3}{2}}}$ y ponemos $- du$:

      $\int \left(- \frac{16 u^{18} + 72 u^{12} + 108 u^{6} + 54}{u^{20}}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{16 u^{18} + 72 u^{12} + 108 u^{6} + 54}{u^{20}}\, du = - \int \frac{16 u^{18} + 72 u^{12} + 108 u^{6} + 54}{u^{20}}\, du$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{16 u^{18} + 72 u^{12} + 108 u^{6} + 54}{u^{20}} = \frac{16}{u^{2}} + \frac{72}{u^{8}} + \frac{108}{u^{14}} + \frac{54}{u^{20}}$

         2. Integramos término a término:

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{16}{u^{2}}\, du = 16 \int \frac{1}{u^{2}}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{16}{u}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{72}{u^{8}}\, du = 72 \int \frac{1}{u^{8}}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{u^{8}}\, du = - \frac{1}{7 u^{7}}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{72}{7 u^{7}}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{108}{u^{14}}\, du = 108 \int \frac{1}{u^{14}}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{u^{14}}\, du = - \frac{1}{13 u^{13}}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{108}{13 u^{13}}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{54}{u^{20}}\, du = 54 \int \frac{1}{u^{20}}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{u^{20}}\, du = - \frac{1}{19 u^{19}}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{54}{19 u^{19}}$

            El resultado es: $- \frac{16}{u} - \frac{72}{7 u^{7}} - \frac{108}{13 u^{13}} - \frac{54}{19 u^{19}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{16}{u} + \frac{72}{7 u^{7}} + \frac{108}{13 u^{13}} + \frac{54}{19 u^{19}}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{54 x^{\frac{19}{2}}}{19} + \frac{108 x^{\frac{13}{2}}}{13} + \frac{72 x^{\frac{7}{2}}}{7} + 16 \sqrt{x}$

   Método #3

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{\left(3 x^{3} + 2\right)^{3}}{\sqrt{x}} = 27 x^{\frac{17}{2}} + 54 x^{\frac{11}{2}} + 36 x^{\frac{5}{2}} + \frac{8}{\sqrt{x}}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 27 x^{\frac{17}{2}}\, dx = 27 \int x^{\frac{17}{2}}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{\frac{17}{2}}\, dx = \frac{2 x^{\frac{19}{2}}}{19}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{54 x^{\frac{19}{2}}}{19}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 54 x^{\frac{11}{2}}\, dx = 54 \int x^{\frac{11}{2}}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{\frac{11}{2}}\, dx = \frac{2 x^{\frac{13}{2}}}{13}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{108 x^{\frac{13}{2}}}{13}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 36 x^{\frac{5}{2}}\, dx = 36 \int x^{\frac{5}{2}}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{\frac{5}{2}}\, dx = \frac{2 x^{\frac{7}{2}}}{7}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{72 x^{\frac{7}{2}}}{7}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{8}{\sqrt{x}}\, dx = 8 \int \frac{1}{\sqrt{x}}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \frac{1}{\sqrt{x}}\, dx = 2 \sqrt{x}$

         Por lo tanto, el resultado es: $16 \sqrt{x}$

      El resultado es: $\frac{54 x^{\frac{19}{2}}}{19} + \frac{108 x^{\frac{13}{2}}}{13} + \frac{72 x^{\frac{7}{2}}}{7} + 16 \sqrt{x}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{2 \sqrt{x} \left(2457 x^{9} + 7182 x^{6} + 8892 x^{3} + 13832\right)}{1729}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{2 \sqrt{x} \left(2457 x^{9} + 7182 x^{6} + 8892 x^{3} + 13832\right)}{1729}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{2 \sqrt{x} \left(2457 x^{9} + 7182 x^{6} + 8892 x^{3} + 13832\right)}{1729}+ \mathrm{constant}$