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Resolución de integrales/ e^(x/2)/ (e^(x/2)+e(-x/2))^2

Integral de (e^(x/2)+e(-x/2))^2 dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                 
  /                 
 |                  
 |              2   
 |  / x        \    
 |  | -        |    
 |  | 2     -x |    
 |  |E  + E*---|  dx
 |  \        2 /    
 |                  
/                   
0
∫01(ex2+e(−1)x2)2 dx\int\limits_{0}^{1} \left(e^{\frac{x}{2}} + e \frac{\left(-1\right) x}{2}\right)^{2}\, dx 
Integral((E^(x/2) + E*((-x)/2))^2, (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (ex2+e(−1)x2)2=x2e24−exex2+ex\left(e^{\frac{x}{2}} + e \frac{\left(-1\right) x}{2}\right)^{2} = \frac{x^{2} e^{2}}{4} - e x e^{\frac{x}{2}} + e^{x}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫x2e24 dx=e2∫x2 dx4\int \frac{x^{2} e^{2}}{4}\, dx = \frac{e^{2} \int x^{2}\, dx}{4}

        1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫x2 dx=x33\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}

        Por lo tanto, el resultado es: x3e212\frac{x^{3} e^{2}}{12}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−exex2) dx=−e∫xex2 dx\int \left(- e x e^{\frac{x}{2}}\right)\, dx = - e \int x e^{\frac{x}{2}}\, dx

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=xu{\left(x \right)} = x y que dv⁡(x)=ex2\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{\frac{x}{2}}.

          Entonces du⁡(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. que u=x2u = \frac{x}{2}.

            Luego que du=dx2du = \frac{dx}{2} y ponemos 2du2 du:

            ∫2eu du\int 2 e^{u}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              False\text{False}

              1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

              Por lo tanto, el resultado es: 2eu2 e^{u}

            Si ahora sustituir uu más en:

            2ex22 e^{\frac{x}{2}}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫2ex2 dx=2∫ex2 dx\int 2 e^{\frac{x}{2}}\, dx = 2 \int e^{\frac{x}{2}}\, dx

          1. que u=x2u = \frac{x}{2}.

            Luego que du=dx2du = \frac{dx}{2} y ponemos 2du2 du:

            ∫2eu du\int 2 e^{u}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              False\text{False}

              1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

              Por lo tanto, el resultado es: 2eu2 e^{u}

            Si ahora sustituir uu más en:

            2ex22 e^{\frac{x}{2}}

          Por lo tanto, el resultado es: 4ex24 e^{\frac{x}{2}}

        Por lo tanto, el resultado es: −e(2xex2−4ex2)- e \left(2 x e^{\frac{x}{2}} - 4 e^{\frac{x}{2}}\right)

      1. La integral de la función exponencial es la mesma.

        ∫ex dx=ex\int e^{x}\, dx = e^{x}

      El resultado es: x3e212−e(2xex2−4ex2)+ex\frac{x^{3} e^{2}}{12} - e \left(2 x e^{\frac{x}{2}} - 4 e^{\frac{x}{2}}\right) + e^{x}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (ex2+e(−1)x2)2=x2e24−exex2+ex\left(e^{\frac{x}{2}} + e \frac{\left(-1\right) x}{2}\right)^{2} = \frac{x^{2} e^{2}}{4} - e x e^{\frac{x}{2}} + e^{x}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫x2e24 dx=e2∫x2 dx4\int \frac{x^{2} e^{2}}{4}\, dx = \frac{e^{2} \int x^{2}\, dx}{4}

        1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫x2 dx=x33\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}

        Por lo tanto, el resultado es: x3e212\frac{x^{3} e^{2}}{12}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−exex2) dx=−e∫xex2 dx\int \left(- e x e^{\frac{x}{2}}\right)\, dx = - e \int x e^{\frac{x}{2}}\, dx

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=xu{\left(x \right)} = x y que dv⁡(x)=ex2\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{\frac{x}{2}}.

          Entonces du⁡(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. que u=x2u = \frac{x}{2}.

            Luego que du=dx2du = \frac{dx}{2} y ponemos 2du2 du:

            ∫2eu du\int 2 e^{u}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              False\text{False}

              1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

              Por lo tanto, el resultado es: 2eu2 e^{u}

            Si ahora sustituir uu más en:

            2ex22 e^{\frac{x}{2}}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫2ex2 dx=2∫ex2 dx\int 2 e^{\frac{x}{2}}\, dx = 2 \int e^{\frac{x}{2}}\, dx

          1. que u=x2u = \frac{x}{2}.

            Luego que du=dx2du = \frac{dx}{2} y ponemos 2du2 du:

            ∫2eu du\int 2 e^{u}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              False\text{False}

              1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

              Por lo tanto, el resultado es: 2eu2 e^{u}

            Si ahora sustituir uu más en:

            2ex22 e^{\frac{x}{2}}

          Por lo tanto, el resultado es: 4ex24 e^{\frac{x}{2}}

        Por lo tanto, el resultado es: −e(2xex2−4ex2)- e \left(2 x e^{\frac{x}{2}} - 4 e^{\frac{x}{2}}\right)

      1. La integral de la función exponencial es la mesma.

        ∫ex dx=ex\int e^{x}\, dx = e^{x}

      El resultado es: x3e212−e(2xex2−4ex2)+ex\frac{x^{3} e^{2}}{12} - e \left(2 x e^{\frac{x}{2}} - 4 e^{\frac{x}{2}}\right) + e^{x}

  2. Ahora simplificar:

    x3e212−2(x−2)ex2+1+ex\frac{x^{3} e^{2}}{12} - 2 \left(x - 2\right) e^{\frac{x}{2} + 1} + e^{x}

  3. Añadimos la constante de integración:

    x3e212−2(x−2)ex2+1+ex+constant\frac{x^{3} e^{2}}{12} - 2 \left(x - 2\right) e^{\frac{x}{2} + 1} + e^{x}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

x3e212−2(x−2)ex2+1+ex+constant\frac{x^{3} e^{2}}{12} - 2 \left(x - 2\right) e^{\frac{x}{2} + 1} + e^{x}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                       
 |                                                        
 |             2                                          
 | / x        \             /     x        x\             
 | | -        |             |     -        -|    3  2     
 | | 2     -x |             |     2        2|   x *e     x
 | |E  + E*---|  dx = C - E*\- 4*e  + 2*x*e / + ----- + e 
 | \        2 /                                   12      
 |                                                        
/
∫(ex2+e(−1)x2)2 dx=C+x3e212−e(2xex2−4ex2)+ex\int \left(e^{\frac{x}{2}} + e \frac{\left(-1\right) x}{2}\right)^{2}\, dx = C + \frac{x^{3} e^{2}}{12} - e \left(2 x e^{\frac{x}{2}} - 4 e^{\frac{x}{2}}\right) + e^{x}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.90020
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
                     2
              3/2   e 
-1 - 3*E + 2*e    + --
                    12
−3e−1+e212+2e32- 3 e - 1 + \frac{e^{2}}{12} + 2 e^{\frac{3}{2}} 
=
= 
                     2
              3/2   e 
-1 - 3*E + 2*e    + --
                    12
−3e−1+e212+2e32- 3 e - 1 + \frac{e^{2}}{12} + 2 e^{\frac{3}{2}} 
-1 - 3*E + 2*exp(3/2) + exp(2)/12
Respuesta numérica [src] 
0.424287330209881
0.424287330209881

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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