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Resolución de integrales/ 2-y^2/ x^2+y/ x^2-y/ (x^2-y^2)/(x^2+y^2)

Integral de (x^2-y^2)/(x^2+y^2) dy

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1           
  /           
 |            
 |   2    2   
 |  x  - y    
 |  ------- dy
 |   2    2   
 |  x  + y    
 |            
/             
0
∫01x2−y2x2+y2 dy\int\limits_{0}^{1} \frac{x^{2} - y^{2}}{x^{2} + y^{2}}\, dy 
Integral((x^2 - y^2)/(x^2 + y^2), (y, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      x2−y2x2+y2=2x2x2+y2−1\frac{x^{2} - y^{2}}{x^{2} + y^{2}} = \frac{2 x^{2}}{x^{2} + y^{2}} - 1

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫2x2x2+y2 dy=2x2∫1x2+y2 dy\int \frac{2 x^{2}}{x^{2} + y^{2}}\, dy = 2 x^{2} \int \frac{1}{x^{2} + y^{2}}\, dy

        1. Integral 1y2+1\frac{1}{y^{2} + 1} es atan⁡(yx2)x2\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{y}{\sqrt{x^{2}}} \right)}}{\sqrt{x^{2}}}.

        Por lo tanto, el resultado es: 2x2atan⁡(yx2)x2\frac{2 x^{2} \operatorname{atan}{\left(\frac{y}{\sqrt{x^{2}}} \right)}}{\sqrt{x^{2}}}

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

        ∫(−1) dy=−y\int \left(-1\right)\, dy = - y

      El resultado es: 2x2atan⁡(yx2)x2−y\frac{2 x^{2} \operatorname{atan}{\left(\frac{y}{\sqrt{x^{2}}} \right)}}{\sqrt{x^{2}}} - y

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      x2−y2x2+y2=x2x2+y2−y2x2+y2\frac{x^{2} - y^{2}}{x^{2} + y^{2}} = \frac{x^{2}}{x^{2} + y^{2}} - \frac{y^{2}}{x^{2} + y^{2}}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫x2x2+y2 dy=x2∫1x2+y2 dy\int \frac{x^{2}}{x^{2} + y^{2}}\, dy = x^{2} \int \frac{1}{x^{2} + y^{2}}\, dy

        1. Integral 1y2+1\frac{1}{y^{2} + 1} es atan⁡(yx2)x2\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{y}{\sqrt{x^{2}}} \right)}}{\sqrt{x^{2}}}.

        Por lo tanto, el resultado es: x2atan⁡(yx2)x2\frac{x^{2} \operatorname{atan}{\left(\frac{y}{\sqrt{x^{2}}} \right)}}{\sqrt{x^{2}}}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−y2x2+y2) dy=−∫y2x2+y2 dy\int \left(- \frac{y^{2}}{x^{2} + y^{2}}\right)\, dy = - \int \frac{y^{2}}{x^{2} + y^{2}}\, dy

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          y2x2+y2=−x2x2+y2+1\frac{y^{2}}{x^{2} + y^{2}} = - \frac{x^{2}}{x^{2} + y^{2}} + 1

        2. Integramos término a término:

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫(−x2x2+y2) dy=−x2∫1x2+y2 dy\int \left(- \frac{x^{2}}{x^{2} + y^{2}}\right)\, dy = - x^{2} \int \frac{1}{x^{2} + y^{2}}\, dy

            1. Integral 1y2+1\frac{1}{y^{2} + 1} es atan⁡(yx2)x2\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{y}{\sqrt{x^{2}}} \right)}}{\sqrt{x^{2}}}.

            Por lo tanto, el resultado es: −x2atan⁡(yx2)x2- \frac{x^{2} \operatorname{atan}{\left(\frac{y}{\sqrt{x^{2}}} \right)}}{\sqrt{x^{2}}}

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫1 dy=y\int 1\, dy = y

          El resultado es: −x2atan⁡(yx2)x2+y- \frac{x^{2} \operatorname{atan}{\left(\frac{y}{\sqrt{x^{2}}} \right)}}{\sqrt{x^{2}}} + y

        Por lo tanto, el resultado es: x2atan⁡(yx2)x2−y\frac{x^{2} \operatorname{atan}{\left(\frac{y}{\sqrt{x^{2}}} \right)}}{\sqrt{x^{2}}} - y

      El resultado es: 2x2atan⁡(yx2)x2−y\frac{2 x^{2} \operatorname{atan}{\left(\frac{y}{\sqrt{x^{2}}} \right)}}{\sqrt{x^{2}}} - y

  2. Añadimos la constante de integración:

    2x2atan⁡(yx2)x2−y+constant\frac{2 x^{2} \operatorname{atan}{\left(\frac{y}{\sqrt{x^{2}}} \right)}}{\sqrt{x^{2}}} - y+ \mathrm{constant}

Respuesta:

2x2atan⁡(yx2)x2−y+constant\frac{2 x^{2} \operatorname{atan}{\left(\frac{y}{\sqrt{x^{2}}} \right)}}{\sqrt{x^{2}}} - y+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
                           2     /   y   \
  /                     2*x *atan|-------|
 |                               |   ____|
 |  2    2                       |  /  2 |
 | x  - y                        \\/  x  /
 | ------- dy = C - y + ------------------
 |  2    2                      ____      
 | x  + y                      /  2       
 |                           \/  x        
/
∫x2−y2x2+y2 dy=C+2x2atan⁡(yx2)x2−y\int \frac{x^{2} - y^{2}}{x^{2} + y^{2}}\, dy = C + \frac{2 x^{2} \operatorname{atan}{\left(\frac{y}{\sqrt{x^{2}}} \right)}}{\sqrt{x^{2}}} - y
Simplificar
Respuesta [src] 
-1 + x*(I*log(-I*x) - I*log(I*x)) - x*(I*log(1 - I*x) - I*log(1 + I*x))
x(ilog⁡(−ix)−ilog⁡(ix))−x(ilog⁡(−ix+1)−ilog⁡(ix+1))−1x \left(i \log{\left(- i x \right)} - i \log{\left(i x \right)}\right) - x \left(i \log{\left(- i x + 1 \right)} - i \log{\left(i x + 1 \right)}\right) - 1 
=
= 
-1 + x*(I*log(-I*x) - I*log(I*x)) - x*(I*log(1 - I*x) - I*log(1 + I*x))
x(ilog⁡(−ix)−ilog⁡(ix))−x(ilog⁡(−ix+1)−ilog⁡(ix+1))−1x \left(i \log{\left(- i x \right)} - i \log{\left(i x \right)}\right) - x \left(i \log{\left(- i x + 1 \right)} - i \log{\left(i x + 1 \right)}\right) - 1 
-1 + x*(i*log(-i*x) - i*log(i*x)) - x*(i*log(1 - i*x) - i*log(1 + i*x))

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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