Integral de -(tg3x+x^3)+(tg3x+x^3) dx

1. Integramos término a término:

   1. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- x^{3}\right)\, dx = - \int x^{3}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{x^{4}}{4}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \tan{\left(3 x \right)}\right)\, dx = - \int \tan{\left(3 x \right)}\, dx$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\tan{\left(3 x \right)} = \frac{\sin{\left(3 x \right)}}{\cos{\left(3 x \right)}}$

         2. Hay varias maneras de calcular esta integral.

            Método #1

            1. que $u = \cos{\left(3 x \right)}$.

               Luego que $du = - 3 \sin{\left(3 x \right)} dx$ y ponemos $- \frac{du}{3}$:

               $\int \left(- \frac{1}{3 u}\right)\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \frac{1}{u}\, du = - \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{3}$

                  1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\log{\left(u \right)}}{3}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $- \frac{\log{\left(\cos{\left(3 x \right)} \right)}}{3}$

            Método #2

            1. que $u = 3 x$.

               Luego que $du = 3 dx$ y ponemos $\frac{du}{3}$:

               $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{3 \cos{\left(u \right)}}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{\cos{\left(u \right)}}\, du = \frac{\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{\cos{\left(u \right)}}\, du}{3}$

                  1. que $u = \cos{\left(u \right)}$.

                     Luego que $du = - \sin{\left(u \right)} du$ y ponemos $- du$:

                     $\int \left(- \frac{1}{u}\right)\, du$

                     1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                        $\int \frac{1}{u}\, du = - \int \frac{1}{u}\, du$

                        1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                        Por lo tanto, el resultado es: $- \log{\left(u \right)}$

                     Si ahora sustituir $u$ más en:

                     $- \log{\left(\cos{\left(u \right)} \right)}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\log{\left(\cos{\left(u \right)} \right)}}{3}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $- \frac{\log{\left(\cos{\left(3 x \right)} \right)}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(\cos{\left(3 x \right)} \right)}}{3}$

      El resultado es: $- \frac{x^{4}}{4} + \frac{\log{\left(\cos{\left(3 x \right)} \right)}}{3}$

   1. Integramos término a término:

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\tan{\left(3 x \right)} = \frac{\sin{\left(3 x \right)}}{\cos{\left(3 x \right)}}$

      2. que $u = \cos{\left(3 x \right)}$.

         Luego que $du = - 3 \sin{\left(3 x \right)} dx$ y ponemos $- \frac{du}{3}$:

         $\int \left(- \frac{1}{3 u}\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{1}{u}\, du = - \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{3}$

            1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\log{\left(u \right)}}{3}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{\log{\left(\cos{\left(3 x \right)} \right)}}{3}$

      El resultado es: $\frac{x^{4}}{4} - \frac{\log{\left(\cos{\left(3 x \right)} \right)}}{3}$

   El resultado es: $0$

Respuesta:

$0+ \mathrm{constant}$