Integral de √1-y^2sinydy dx

1. Integramos término a término:

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- y^{2} \sin{\left(y \right)}\right)\, dy = - \int y^{2} \sin{\left(y \right)}\, dy$

      1. Usamos la integración por partes:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         que $u{\left(y \right)} = y^{2}$ y que $\operatorname{dv}{\left(y \right)} = \sin{\left(y \right)}$.

         Entonces $\operatorname{du}{\left(y \right)} = 2 y$.

         Para buscar $v{\left(y \right)}$:

         1. La integral del seno es un coseno menos:

            $\int \sin{\left(y \right)}\, dy = - \cos{\left(y \right)}$

         Ahora resolvemos podintegral.

      2. Usamos la integración por partes:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         que $u{\left(y \right)} = - 2 y$ y que $\operatorname{dv}{\left(y \right)} = \cos{\left(y \right)}$.

         Entonces $\operatorname{du}{\left(y \right)} = -2$.

         Para buscar $v{\left(y \right)}$:

         1. La integral del coseno es seno:

            $\int \cos{\left(y \right)}\, dy = \sin{\left(y \right)}$

         Ahora resolvemos podintegral.

      3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 2 \sin{\left(y \right)}\right)\, dy = - 2 \int \sin{\left(y \right)}\, dy$

         1. La integral del seno es un coseno menos:

            $\int \sin{\left(y \right)}\, dy = - \cos{\left(y \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $2 \cos{\left(y \right)}$

      Por lo tanto, el resultado es: $y^{2} \cos{\left(y \right)} - 2 y \sin{\left(y \right)} - 2 \cos{\left(y \right)}$

   1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

      $\int \sqrt{1}\, dy = y$

   El resultado es: $y^{2} \cos{\left(y \right)} - 2 y \sin{\left(y \right)} + y - 2 \cos{\left(y \right)}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $y^{2} \cos{\left(y \right)} - 2 y \sin{\left(y \right)} + y - 2 \cos{\left(y \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$y^{2} \cos{\left(y \right)} - 2 y \sin{\left(y \right)} + y - 2 \cos{\left(y \right)}+ \mathrm{constant}$