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Resolución de integrales/ sec^5x/ tg^7×sec^5xdx

Integral de tg^7×sec^5xdx dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                   
  /                   
 |                    
 |     7       5      
 |  tan (x)*sec (x) dx
 |                    
/                     
0
∫01tan⁡7(x)sec⁡5(x) dx\int\limits_{0}^{1} \tan^{7}{\left(x \right)} \sec^{5}{\left(x \right)}\, dx 
Integral(tan(x)^7*sec(x)^5, (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Vuelva a escribir el integrando:

    tan⁡7(x)sec⁡5(x)=(sec⁡2(x)−1)3tan⁡(x)sec⁡5(x)\tan^{7}{\left(x \right)} \sec^{5}{\left(x \right)} = \left(\sec^{2}{\left(x \right)} - 1\right)^{3} \tan{\left(x \right)} \sec^{5}{\left(x \right)}

  2. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. que u=sec⁡(x)u = \sec{\left(x \right)}.

      Luego que du=tan⁡(x)sec⁡(x)dxdu = \tan{\left(x \right)} \sec{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

      ∫(u10−3u8+3u6−u4) du\int \left(u^{10} - 3 u^{8} + 3 u^{6} - u^{4}\right)\, du

      1. Integramos término a término:

        1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫u10 du=u1111\int u^{10}\, du = \frac{u^{11}}{11}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−3u8) du=−3∫u8 du\int \left(- 3 u^{8}\right)\, du = - 3 \int u^{8}\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫u8 du=u99\int u^{8}\, du = \frac{u^{9}}{9}

          Por lo tanto, el resultado es: −u93- \frac{u^{9}}{3}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫3u6 du=3∫u6 du\int 3 u^{6}\, du = 3 \int u^{6}\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫u6 du=u77\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}

          Por lo tanto, el resultado es: 3u77\frac{3 u^{7}}{7}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−u4) du=−∫u4 du\int \left(- u^{4}\right)\, du = - \int u^{4}\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫u4 du=u55\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}

          Por lo tanto, el resultado es: −u55- \frac{u^{5}}{5}

        El resultado es: u1111−u93+3u77−u55\frac{u^{11}}{11} - \frac{u^{9}}{3} + \frac{3 u^{7}}{7} - \frac{u^{5}}{5}

      Si ahora sustituir uu más en:

      sec⁡11(x)11−sec⁡9(x)3+3sec⁡7(x)7−sec⁡5(x)5\frac{\sec^{11}{\left(x \right)}}{11} - \frac{\sec^{9}{\left(x \right)}}{3} + \frac{3 \sec^{7}{\left(x \right)}}{7} - \frac{\sec^{5}{\left(x \right)}}{5}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (sec⁡2(x)−1)3tan⁡(x)sec⁡5(x)=tan⁡(x)sec⁡11(x)−3tan⁡(x)sec⁡9(x)+3tan⁡(x)sec⁡7(x)−tan⁡(x)sec⁡5(x)\left(\sec^{2}{\left(x \right)} - 1\right)^{3} \tan{\left(x \right)} \sec^{5}{\left(x \right)} = \tan{\left(x \right)} \sec^{11}{\left(x \right)} - 3 \tan{\left(x \right)} \sec^{9}{\left(x \right)} + 3 \tan{\left(x \right)} \sec^{7}{\left(x \right)} - \tan{\left(x \right)} \sec^{5}{\left(x \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. que u=sec⁡(x)u = \sec{\left(x \right)}.

        Luego que du=tan⁡(x)sec⁡(x)dxdu = \tan{\left(x \right)} \sec{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

        ∫u10 du\int u^{10}\, du

        1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫u10 du=u1111\int u^{10}\, du = \frac{u^{11}}{11}

        Si ahora sustituir uu más en:

        sec⁡11(x)11\frac{\sec^{11}{\left(x \right)}}{11}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−3tan⁡(x)sec⁡9(x)) dx=−3∫tan⁡(x)sec⁡9(x) dx\int \left(- 3 \tan{\left(x \right)} \sec^{9}{\left(x \right)}\right)\, dx = - 3 \int \tan{\left(x \right)} \sec^{9}{\left(x \right)}\, dx

        1. que u=sec⁡(x)u = \sec{\left(x \right)}.

          Luego que du=tan⁡(x)sec⁡(x)dxdu = \tan{\left(x \right)} \sec{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

          ∫u8 du\int u^{8}\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫u8 du=u99\int u^{8}\, du = \frac{u^{9}}{9}

          Si ahora sustituir uu más en:

          sec⁡9(x)9\frac{\sec^{9}{\left(x \right)}}{9}

        Por lo tanto, el resultado es: −sec⁡9(x)3- \frac{\sec^{9}{\left(x \right)}}{3}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫3tan⁡(x)sec⁡7(x) dx=3∫tan⁡(x)sec⁡7(x) dx\int 3 \tan{\left(x \right)} \sec^{7}{\left(x \right)}\, dx = 3 \int \tan{\left(x \right)} \sec^{7}{\left(x \right)}\, dx

        1. que u=sec⁡(x)u = \sec{\left(x \right)}.

          Luego que du=tan⁡(x)sec⁡(x)dxdu = \tan{\left(x \right)} \sec{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

          ∫u6 du\int u^{6}\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫u6 du=u77\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}

          Si ahora sustituir uu más en:

          sec⁡7(x)7\frac{\sec^{7}{\left(x \right)}}{7}

        Por lo tanto, el resultado es: 3sec⁡7(x)7\frac{3 \sec^{7}{\left(x \right)}}{7}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−tan⁡(x)sec⁡5(x)) dx=−∫tan⁡(x)sec⁡5(x) dx\int \left(- \tan{\left(x \right)} \sec^{5}{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \tan{\left(x \right)} \sec^{5}{\left(x \right)}\, dx

        1. que u=sec⁡(x)u = \sec{\left(x \right)}.

          Luego que du=tan⁡(x)sec⁡(x)dxdu = \tan{\left(x \right)} \sec{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

          ∫u4 du\int u^{4}\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫u4 du=u55\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}

          Si ahora sustituir uu más en:

          sec⁡5(x)5\frac{\sec^{5}{\left(x \right)}}{5}

        Por lo tanto, el resultado es: −sec⁡5(x)5- \frac{\sec^{5}{\left(x \right)}}{5}

      El resultado es: sec⁡11(x)11−sec⁡9(x)3+3sec⁡7(x)7−sec⁡5(x)5\frac{\sec^{11}{\left(x \right)}}{11} - \frac{\sec^{9}{\left(x \right)}}{3} + \frac{3 \sec^{7}{\left(x \right)}}{7} - \frac{\sec^{5}{\left(x \right)}}{5}

    Método #3

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (sec⁡2(x)−1)3tan⁡(x)sec⁡5(x)=tan⁡(x)sec⁡11(x)−3tan⁡(x)sec⁡9(x)+3tan⁡(x)sec⁡7(x)−tan⁡(x)sec⁡5(x)\left(\sec^{2}{\left(x \right)} - 1\right)^{3} \tan{\left(x \right)} \sec^{5}{\left(x \right)} = \tan{\left(x \right)} \sec^{11}{\left(x \right)} - 3 \tan{\left(x \right)} \sec^{9}{\left(x \right)} + 3 \tan{\left(x \right)} \sec^{7}{\left(x \right)} - \tan{\left(x \right)} \sec^{5}{\left(x \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. que u=sec⁡(x)u = \sec{\left(x \right)}.

        Luego que du=tan⁡(x)sec⁡(x)dxdu = \tan{\left(x \right)} \sec{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

        ∫u10 du\int u^{10}\, du

        1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫u10 du=u1111\int u^{10}\, du = \frac{u^{11}}{11}

        Si ahora sustituir uu más en:

        sec⁡11(x)11\frac{\sec^{11}{\left(x \right)}}{11}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−3tan⁡(x)sec⁡9(x)) dx=−3∫tan⁡(x)sec⁡9(x) dx\int \left(- 3 \tan{\left(x \right)} \sec^{9}{\left(x \right)}\right)\, dx = - 3 \int \tan{\left(x \right)} \sec^{9}{\left(x \right)}\, dx

        1. que u=sec⁡(x)u = \sec{\left(x \right)}.

          Luego que du=tan⁡(x)sec⁡(x)dxdu = \tan{\left(x \right)} \sec{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

          ∫u8 du\int u^{8}\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫u8 du=u99\int u^{8}\, du = \frac{u^{9}}{9}

          Si ahora sustituir uu más en:

          sec⁡9(x)9\frac{\sec^{9}{\left(x \right)}}{9}

        Por lo tanto, el resultado es: −sec⁡9(x)3- \frac{\sec^{9}{\left(x \right)}}{3}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫3tan⁡(x)sec⁡7(x) dx=3∫tan⁡(x)sec⁡7(x) dx\int 3 \tan{\left(x \right)} \sec^{7}{\left(x \right)}\, dx = 3 \int \tan{\left(x \right)} \sec^{7}{\left(x \right)}\, dx

        1. que u=sec⁡(x)u = \sec{\left(x \right)}.

          Luego que du=tan⁡(x)sec⁡(x)dxdu = \tan{\left(x \right)} \sec{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

          ∫u6 du\int u^{6}\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫u6 du=u77\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}

          Si ahora sustituir uu más en:

          sec⁡7(x)7\frac{\sec^{7}{\left(x \right)}}{7}

        Por lo tanto, el resultado es: 3sec⁡7(x)7\frac{3 \sec^{7}{\left(x \right)}}{7}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−tan⁡(x)sec⁡5(x)) dx=−∫tan⁡(x)sec⁡5(x) dx\int \left(- \tan{\left(x \right)} \sec^{5}{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \tan{\left(x \right)} \sec^{5}{\left(x \right)}\, dx

        1. que u=sec⁡(x)u = \sec{\left(x \right)}.

          Luego que du=tan⁡(x)sec⁡(x)dxdu = \tan{\left(x \right)} \sec{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

          ∫u4 du\int u^{4}\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫u4 du=u55\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}

          Si ahora sustituir uu más en:

          sec⁡5(x)5\frac{\sec^{5}{\left(x \right)}}{5}

        Por lo tanto, el resultado es: −sec⁡5(x)5- \frac{\sec^{5}{\left(x \right)}}{5}

      El resultado es: sec⁡11(x)11−sec⁡9(x)3+3sec⁡7(x)7−sec⁡5(x)5\frac{\sec^{11}{\left(x \right)}}{11} - \frac{\sec^{9}{\left(x \right)}}{3} + \frac{3 \sec^{7}{\left(x \right)}}{7} - \frac{\sec^{5}{\left(x \right)}}{5}

  3. Ahora simplificar:

    (105sec⁡6(x)−385sec⁡4(x)+495sec⁡2(x)−231)sec⁡5(x)1155\frac{\left(105 \sec^{6}{\left(x \right)} - 385 \sec^{4}{\left(x \right)} + 495 \sec^{2}{\left(x \right)} - 231\right) \sec^{5}{\left(x \right)}}{1155}

  4. Añadimos la constante de integración:

    (105sec⁡6(x)−385sec⁡4(x)+495sec⁡2(x)−231)sec⁡5(x)1155+constant\frac{\left(105 \sec^{6}{\left(x \right)} - 385 \sec^{4}{\left(x \right)} + 495 \sec^{2}{\left(x \right)} - 231\right) \sec^{5}{\left(x \right)}}{1155}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

(105sec⁡6(x)−385sec⁡4(x)+495sec⁡2(x)−231)sec⁡5(x)1155+constant\frac{\left(105 \sec^{6}{\left(x \right)} - 385 \sec^{4}{\left(x \right)} + 495 \sec^{2}{\left(x \right)} - 231\right) \sec^{5}{\left(x \right)}}{1155}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                                 
 |                             9         5         11           7   
 |    7       5             sec (x)   sec (x)   sec  (x)   3*sec (x)
 | tan (x)*sec (x) dx = C - ------- - ------- + -------- + ---------
 |                             3         5         11          7    
/
∫tan⁡7(x)sec⁡5(x) dx=C+sec⁡11(x)11−sec⁡9(x)3+3sec⁡7(x)7−sec⁡5(x)5\int \tan^{7}{\left(x \right)} \sec^{5}{\left(x \right)}\, dx = C + \frac{\sec^{11}{\left(x \right)}}{11} - \frac{\sec^{9}{\left(x \right)}}{3} + \frac{3 \sec^{7}{\left(x \right)}}{7} - \frac{\sec^{5}{\left(x \right)}}{5}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.90-500500
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
                     4             6             2   
 16    -105 - 495*cos (1) + 231*cos (1) + 385*cos (1)
---- - ----------------------------------------------
1155                           11                    
                       1155*cos  (1)
161155−−105−495cos⁡4(1)+231cos⁡6(1)+385cos⁡2(1)1155cos⁡11(1)\frac{16}{1155} - \frac{-105 - 495 \cos^{4}{\left(1 \right)} + 231 \cos^{6}{\left(1 \right)} + 385 \cos^{2}{\left(1 \right)}}{1155 \cos^{11}{\left(1 \right)}} 
=
= 
                     4             6             2   
 16    -105 - 495*cos (1) + 231*cos (1) + 385*cos (1)
---- - ----------------------------------------------
1155                           11                    
                       1155*cos  (1)
161155−−105−495cos⁡4(1)+231cos⁡6(1)+385cos⁡2(1)1155cos⁡11(1)\frac{16}{1155} - \frac{-105 - 495 \cos^{4}{\left(1 \right)} + 231 \cos^{6}{\left(1 \right)} + 385 \cos^{2}{\left(1 \right)}}{1155 \cos^{11}{\left(1 \right)}} 
16/1155 - (-105 - 495*cos(1)^4 + 231*cos(1)^6 + 385*cos(1)^2)/(1155*cos(1)^11)
Respuesta numérica [src] 
21.9670028601661
21.9670028601661

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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