Integral de (xsqrtx-3)^2/x^3 dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \sqrt{x}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{2 \sqrt{x}}$ y ponemos $du$:

      $\int \frac{2 u^{6} - 12 u^{3} + 18}{u^{5}}\, du$

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{2 u^{6} - 12 u^{3} + 18}{u^{5}} = 2 u - \frac{12}{u^{2}} + \frac{18}{u^{5}}$

      2. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 2 u\, du = 2 \int u\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $u^{2}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- \frac{12}{u^{2}}\right)\, du = - 12 \int \frac{1}{u^{2}}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{12}{u}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{18}{u^{5}}\, du = 18 \int \frac{1}{u^{5}}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int \frac{1}{u^{5}}\, du = - \frac{1}{4 u^{4}}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{9}{2 u^{4}}$

         El resultado es: $u^{2} + \frac{12}{u} - \frac{9}{2 u^{4}}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $x - \frac{9}{2 x^{2}} + \frac{12}{\sqrt{x}}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{\left(\sqrt{x} x - 3\right)^{2}}{x^{3}} = \frac{- 6 x^{\frac{3}{2}} + x^{3} + 9}{x^{3}}$

   2. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{- 6 x^{\frac{3}{2}} + x^{3} + 9}{x^{3}} = 1 + \frac{9}{x^{3}} - \frac{6}{x^{\frac{3}{2}}}$

   3. Integramos término a término:

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 1\, dx = x$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{9}{x^{3}}\, dx = 9 \int \frac{1}{x^{3}}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \frac{1}{x^{3}}\, dx = - \frac{1}{2 x^{2}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{9}{2 x^{2}}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{6}{x^{\frac{3}{2}}}\right)\, dx = - 6 \int \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}\, dx = - \frac{2}{\sqrt{x}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{12}{\sqrt{x}}$

      El resultado es: $x - \frac{9}{2 x^{2}} + \frac{12}{\sqrt{x}}$

   Método #3

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{\left(\sqrt{x} x - 3\right)^{2}}{x^{3}} = 1 + \frac{9}{x^{3}} - \frac{6}{x^{\frac{3}{2}}}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 1\, dx = x$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{9}{x^{3}}\, dx = 9 \int \frac{1}{x^{3}}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \frac{1}{x^{3}}\, dx = - \frac{1}{2 x^{2}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{9}{2 x^{2}}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{6}{x^{\frac{3}{2}}}\right)\, dx = - 6 \int \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}\, dx = - \frac{2}{\sqrt{x}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{12}{\sqrt{x}}$

      El resultado es: $x - \frac{9}{2 x^{2}} + \frac{12}{\sqrt{x}}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $x - \frac{9}{2 x^{2}} + \frac{12}{\sqrt{x}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$x - \frac{9}{2 x^{2}} + \frac{12}{\sqrt{x}}+ \mathrm{constant}$