Integral de ln(1+2x^4) dx

Solución

Ha introducido [src]

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 |  log\1 + 2*x / dx
 |                  
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0

$$\int\limits_{0}^{\frac{1}{5}} \log{\left(2 x^{4} + 1 \right)}\, dx$$

Integral(log(1 + 2*x^4), (x, 0, 1/5))

Solución detallada

Usamos la integración por partes:

$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

que $u{\left(x \right)} = \log{\left(2 x^{4} + 1 \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = 1$ .

Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{8 x^{3}}{2 x^{4} + 1}$ .

Para buscar $v{\left(x \right)}$ :
1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
  
  $\int 1\, dx = x$
Ahora resolvemos podintegral.
La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

$\int \frac{8 x^{4}}{2 x^{4} + 1}\, dx = 8 \int \frac{x^{4}}{2 x^{4} + 1}\, dx$
1. Vuelva a escribir el integrando:
  
  $\frac{x^{4}}{2 x^{4} + 1} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2 \left(2 x^{4} + 1\right)}$
2. Integramos término a término:
  1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
    
    $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int \left(- \frac{1}{2 \left(2 x^{4} + 1\right)}\right)\, dx = - \frac{\int \frac{1}{2 x^{4} + 1}\, dx}{2}$
    1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.
      
      Pero la integral
      
      $- \frac{\sqrt[4]{2} \log{\left(x^{2} - \sqrt[4]{2} x + \frac{\sqrt{2}}{2} \right)}}{8} + \frac{\sqrt[4]{2} \log{\left(x^{2} + \sqrt[4]{2} x + \frac{\sqrt{2}}{2} \right)}}{8} + \frac{\sqrt[4]{2} \operatorname{atan}{\left(2^{\frac{3}{4}} x - 1 \right)}}{4} + \frac{\sqrt[4]{2} \operatorname{atan}{\left(2^{\frac{3}{4}} x + 1 \right)}}{4}$
    Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sqrt[4]{2} \log{\left(x^{2} - \sqrt[4]{2} x + \frac{\sqrt{2}}{2} \right)}}{16} - \frac{\sqrt[4]{2} \log{\left(x^{2} + \sqrt[4]{2} x + \frac{\sqrt{2}}{2} \right)}}{16} - \frac{\sqrt[4]{2} \operatorname{atan}{\left(2^{\frac{3}{4}} x - 1 \right)}}{8} - \frac{\sqrt[4]{2} \operatorname{atan}{\left(2^{\frac{3}{4}} x + 1 \right)}}{8}$
  El resultado es: $\frac{x}{2} + \frac{\sqrt[4]{2} \log{\left(x^{2} - \sqrt[4]{2} x + \frac{\sqrt{2}}{2} \right)}}{16} - \frac{\sqrt[4]{2} \log{\left(x^{2} + \sqrt[4]{2} x + \frac{\sqrt{2}}{2} \right)}}{16} - \frac{\sqrt[4]{2} \operatorname{atan}{\left(2^{\frac{3}{4}} x - 1 \right)}}{8} - \frac{\sqrt[4]{2} \operatorname{atan}{\left(2^{\frac{3}{4}} x + 1 \right)}}{8}$
Por lo tanto, el resultado es: $4 x + \frac{\sqrt[4]{2} \log{\left(x^{2} - \sqrt[4]{2} x + \frac{\sqrt{2}}{2} \right)}}{2} - \frac{\sqrt[4]{2} \log{\left(x^{2} + \sqrt[4]{2} x + \frac{\sqrt{2}}{2} \right)}}{2} - \sqrt[4]{2} \operatorname{atan}{\left(2^{\frac{3}{4}} x - 1 \right)} - \sqrt[4]{2} \operatorname{atan}{\left(2^{\frac{3}{4}} x + 1 \right)}$
Añadimos la constante de integración:

$x \log{\left(2 x^{4} + 1 \right)} - 4 x - \frac{\sqrt[4]{2} \log{\left(x^{2} - \sqrt[4]{2} x + \frac{\sqrt{2}}{2} \right)}}{2} + \frac{\sqrt[4]{2} \log{\left(x^{2} + \sqrt[4]{2} x + \frac{\sqrt{2}}{2} \right)}}{2} + \sqrt[4]{2} \operatorname{atan}{\left(2^{\frac{3}{4}} x - 1 \right)} + \sqrt[4]{2} \operatorname{atan}{\left(2^{\frac{3}{4}} x + 1 \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$x \log{\left(2 x^{4} + 1 \right)} - 4 x - \frac{\sqrt[4]{2} \log{\left(x^{2} - \sqrt[4]{2} x + \frac{\sqrt{2}}{2} \right)}}{2} + \frac{\sqrt[4]{2} \log{\left(x^{2} + \sqrt[4]{2} x + \frac{\sqrt{2}}{2} \right)}}{2} + \sqrt[4]{2} \operatorname{atan}{\left(2^{\frac{3}{4}} x - 1 \right)} + \sqrt[4]{2} \operatorname{atan}{\left(2^{\frac{3}{4}} x + 1 \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta (Indefinida) [src]

                                                                                                              /       ___          \            /       ___          \
  /                                                                                                  4 ___    | 2   \/ 2      4 ___|   4 ___    | 2   \/ 2      4 ___|
 |                                                                                                   \/ 2 *log|x  + ----- + x*\/ 2 |   \/ 2 *log|x  + ----- - x*\/ 2 |
 |    /       4\                     /       4\   4 ___     /       3/4\   4 ___     /        3/4\            \       2            /            \       2            /
 | log\1 + 2*x / dx = C - 4*x + x*log\1 + 2*x / + \/ 2 *atan\1 + x*2   / + \/ 2 *atan\-1 + x*2   / + ------------------------------- - -------------------------------
 |                                                                                                                  2                                 2               
/

$$\int \log{\left(2 x^{4} + 1 \right)}\, dx = C + x \log{\left(2 x^{4} + 1 \right)} - 4 x - \frac{\sqrt[4]{2} \log{\left(x^{2} - \sqrt[4]{2} x + \frac{\sqrt{2}}{2} \right)}}{2} + \frac{\sqrt[4]{2} \log{\left(x^{2} + \sqrt[4]{2} x + \frac{\sqrt{2}}{2} \right)}}{2} + \sqrt[4]{2} \operatorname{atan}{\left(2^{\frac{3}{4}} x - 1 \right)} + \sqrt[4]{2} \operatorname{atan}{\left(2^{\frac{3}{4}} x + 1 \right)}$$

Simplificar

Gráfica

Trazar el gráfico f(x)

Respuesta [src]

                                                 /       ___   4 ___\                                   /       ___   4 ___\
         /627\                          4 ___    |1    \/ 2    \/ 2 |                          4 ___    |1    \/ 2    \/ 2 |
      log|---|             /     3/4\   \/ 2 *log|-- + ----- + -----|             /     3/4\   \/ 2 *log|-- + ----- - -----|
  4      \625/   4 ___     |    2   |            \25     2       5  /   4 ___     |    2   |            \25     2       5  /
- - + -------- + \/ 2 *atan|1 + ----| + ----------------------------- - \/ 2 *atan|1 - ----| - -----------------------------
  5      5                 \     5  /                 2                           \     5  /                 2

$$- \frac{4}{5} - \sqrt[4]{2} \operatorname{atan}{\left(1 - \frac{2^{\frac{3}{4}}}{5} \right)} + \frac{\sqrt[4]{2} \log{\left(\frac{1}{25} + \frac{\sqrt[4]{2}}{5} + \frac{\sqrt{2}}{2} \right)}}{2} + \frac{\log{\left(\frac{627}{625} \right)}}{5} - \frac{\sqrt[4]{2} \log{\left(- \frac{\sqrt[4]{2}}{5} + \frac{1}{25} + \frac{\sqrt{2}}{2} \right)}}{2} + \sqrt[4]{2} \operatorname{atan}{\left(\frac{2^{\frac{3}{4}}}{5} + 1 \right)}$$

                                                 /       ___   4 ___\                                   /       ___   4 ___\
         /627\                          4 ___    |1    \/ 2    \/ 2 |                          4 ___    |1    \/ 2    \/ 2 |
      log|---|             /     3/4\   \/ 2 *log|-- + ----- + -----|             /     3/4\   \/ 2 *log|-- + ----- - -----|
  4      \625/   4 ___     |    2   |            \25     2       5  /   4 ___     |    2   |            \25     2       5  /
- - + -------- + \/ 2 *atan|1 + ----| + ----------------------------- - \/ 2 *atan|1 - ----| - -----------------------------
  5      5                 \     5  /                 2                           \     5  /                 2

-4/5 + log(627/625)/5 + 2^(1/4)*atan(1 + 2^(3/4)/5) + 2^(1/4)*log(1/25 + sqrt(2)/2 + 2^(1/4)/5)/2 - 2^(1/4)*atan(1 - 2^(3/4)/5) - 2^(1/4)*log(1/25 + sqrt(2)/2 - 2^(1/4)/5)/2

Respuesta numérica [src]

0.000127886389955481

0.000127886389955481

Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

Otras calculadoras

¿Cómo usar?

Expresiones idénticas

Expresiones semejantes

Expresiones con funciones

Integral de ln(1+2x^4) dx

Límites de integración:

Gráfico:

Definida a trozos:

Solución