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Resolución de integrales/ ln(1+2x^4)

Integral de ln(1+2x^4) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
 1/5                
  /                 
 |                  
 |     /       4\   
 |  log\1 + 2*x / dx
 |                  
/                   
0
∫015log⁡(2x4+1) dx\int\limits_{0}^{\frac{1}{5}} \log{\left(2 x^{4} + 1 \right)}\, dx 
Integral(log(1 + 2*x^4), (x, 0, 1/5))
Solución detallada

  1. Usamos la integración por partes:

    ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

    que u(x)=log⁡(2x4+1)u{\left(x \right)} = \log{\left(2 x^{4} + 1 \right)} y que dv⁡(x)=1\operatorname{dv}{\left(x \right)} = 1.

    Entonces du⁡(x)=8x32x4+1\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{8 x^{3}}{2 x^{4} + 1}.

    Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

    1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

      ∫1 dx=x\int 1\, dx = x

    Ahora resolvemos podintegral.

  2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

    ∫8x42x4+1 dx=8∫x42x4+1 dx\int \frac{8 x^{4}}{2 x^{4} + 1}\, dx = 8 \int \frac{x^{4}}{2 x^{4} + 1}\, dx

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      x42x4+1=12−12(2x4+1)\frac{x^{4}}{2 x^{4} + 1} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2 \left(2 x^{4} + 1\right)}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

        ∫12 dx=x2\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−12(2x4+1)) dx=−∫12x4+1 dx2\int \left(- \frac{1}{2 \left(2 x^{4} + 1\right)}\right)\, dx = - \frac{\int \frac{1}{2 x^{4} + 1}\, dx}{2}

        1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

          Pero la integral

          −24log⁡(x2−24x+22)8+24log⁡(x2+24x+22)8+24atan⁡(234x−1)4+24atan⁡(234x+1)4- \frac{\sqrt[4]{2} \log{\left(x^{2} - \sqrt[4]{2} x + \frac{\sqrt{2}}{2} \right)}}{8} + \frac{\sqrt[4]{2} \log{\left(x^{2} + \sqrt[4]{2} x + \frac{\sqrt{2}}{2} \right)}}{8} + \frac{\sqrt[4]{2} \operatorname{atan}{\left(2^{\frac{3}{4}} x - 1 \right)}}{4} + \frac{\sqrt[4]{2} \operatorname{atan}{\left(2^{\frac{3}{4}} x + 1 \right)}}{4}

        Por lo tanto, el resultado es: 24log⁡(x2−24x+22)16−24log⁡(x2+24x+22)16−24atan⁡(234x−1)8−24atan⁡(234x+1)8\frac{\sqrt[4]{2} \log{\left(x^{2} - \sqrt[4]{2} x + \frac{\sqrt{2}}{2} \right)}}{16} - \frac{\sqrt[4]{2} \log{\left(x^{2} + \sqrt[4]{2} x + \frac{\sqrt{2}}{2} \right)}}{16} - \frac{\sqrt[4]{2} \operatorname{atan}{\left(2^{\frac{3}{4}} x - 1 \right)}}{8} - \frac{\sqrt[4]{2} \operatorname{atan}{\left(2^{\frac{3}{4}} x + 1 \right)}}{8}

      El resultado es: x2+24log⁡(x2−24x+22)16−24log⁡(x2+24x+22)16−24atan⁡(234x−1)8−24atan⁡(234x+1)8\frac{x}{2} + \frac{\sqrt[4]{2} \log{\left(x^{2} - \sqrt[4]{2} x + \frac{\sqrt{2}}{2} \right)}}{16} - \frac{\sqrt[4]{2} \log{\left(x^{2} + \sqrt[4]{2} x + \frac{\sqrt{2}}{2} \right)}}{16} - \frac{\sqrt[4]{2} \operatorname{atan}{\left(2^{\frac{3}{4}} x - 1 \right)}}{8} - \frac{\sqrt[4]{2} \operatorname{atan}{\left(2^{\frac{3}{4}} x + 1 \right)}}{8}

    Por lo tanto, el resultado es: 4x+24log⁡(x2−24x+22)2−24log⁡(x2+24x+22)2−24atan⁡(234x−1)−24atan⁡(234x+1)4 x + \frac{\sqrt[4]{2} \log{\left(x^{2} - \sqrt[4]{2} x + \frac{\sqrt{2}}{2} \right)}}{2} - \frac{\sqrt[4]{2} \log{\left(x^{2} + \sqrt[4]{2} x + \frac{\sqrt{2}}{2} \right)}}{2} - \sqrt[4]{2} \operatorname{atan}{\left(2^{\frac{3}{4}} x - 1 \right)} - \sqrt[4]{2} \operatorname{atan}{\left(2^{\frac{3}{4}} x + 1 \right)}

  3. Añadimos la constante de integración:

    xlog⁡(2x4+1)−4x−24log⁡(x2−24x+22)2+24log⁡(x2+24x+22)2+24atan⁡(234x−1)+24atan⁡(234x+1)+constantx \log{\left(2 x^{4} + 1 \right)} - 4 x - \frac{\sqrt[4]{2} \log{\left(x^{2} - \sqrt[4]{2} x + \frac{\sqrt{2}}{2} \right)}}{2} + \frac{\sqrt[4]{2} \log{\left(x^{2} + \sqrt[4]{2} x + \frac{\sqrt{2}}{2} \right)}}{2} + \sqrt[4]{2} \operatorname{atan}{\left(2^{\frac{3}{4}} x - 1 \right)} + \sqrt[4]{2} \operatorname{atan}{\left(2^{\frac{3}{4}} x + 1 \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

xlog⁡(2x4+1)−4x−24log⁡(x2−24x+22)2+24log⁡(x2+24x+22)2+24atan⁡(234x−1)+24atan⁡(234x+1)+constantx \log{\left(2 x^{4} + 1 \right)} - 4 x - \frac{\sqrt[4]{2} \log{\left(x^{2} - \sqrt[4]{2} x + \frac{\sqrt{2}}{2} \right)}}{2} + \frac{\sqrt[4]{2} \log{\left(x^{2} + \sqrt[4]{2} x + \frac{\sqrt{2}}{2} \right)}}{2} + \sqrt[4]{2} \operatorname{atan}{\left(2^{\frac{3}{4}} x - 1 \right)} + \sqrt[4]{2} \operatorname{atan}{\left(2^{\frac{3}{4}} x + 1 \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
                                                                                                              /       ___          \            /       ___          \
  /                                                                                                  4 ___    | 2   \/ 2      4 ___|   4 ___    | 2   \/ 2      4 ___|
 |                                                                                                   \/ 2 *log|x  + ----- + x*\/ 2 |   \/ 2 *log|x  + ----- - x*\/ 2 |
 |    /       4\                     /       4\   4 ___     /       3/4\   4 ___     /        3/4\            \       2            /            \       2            /
 | log\1 + 2*x / dx = C - 4*x + x*log\1 + 2*x / + \/ 2 *atan\1 + x*2   / + \/ 2 *atan\-1 + x*2   / + ------------------------------- - -------------------------------
 |                                                                                                                  2                                 2               
/
∫log⁡(2x4+1) dx=C+xlog⁡(2x4+1)−4x−24log⁡(x2−24x+22)2+24log⁡(x2+24x+22)2+24atan⁡(234x−1)+24atan⁡(234x+1)\int \log{\left(2 x^{4} + 1 \right)}\, dx = C + x \log{\left(2 x^{4} + 1 \right)} - 4 x - \frac{\sqrt[4]{2} \log{\left(x^{2} - \sqrt[4]{2} x + \frac{\sqrt{2}}{2} \right)}}{2} + \frac{\sqrt[4]{2} \log{\left(x^{2} + \sqrt[4]{2} x + \frac{\sqrt{2}}{2} \right)}}{2} + \sqrt[4]{2} \operatorname{atan}{\left(2^{\frac{3}{4}} x - 1 \right)} + \sqrt[4]{2} \operatorname{atan}{\left(2^{\frac{3}{4}} x + 1 \right)}
Simplificar
Gráfica
0.000.200.020.040.060.080.100.120.140.160.180.0000.005
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
                                                 /       ___   4 ___\                                   /       ___   4 ___\
         /627\                          4 ___    |1    \/ 2    \/ 2 |                          4 ___    |1    \/ 2    \/ 2 |
      log|---|             /     3/4\   \/ 2 *log|-- + ----- + -----|             /     3/4\   \/ 2 *log|-- + ----- - -----|
  4      \625/   4 ___     |    2   |            \25     2       5  /   4 ___     |    2   |            \25     2       5  /
- - + -------- + \/ 2 *atan|1 + ----| + ----------------------------- - \/ 2 *atan|1 - ----| - -----------------------------
  5      5                 \     5  /                 2                           \     5  /                 2
−45−24atan⁡(1−2345)+24log⁡(125+245+22)2+log⁡(627625)5−24log⁡(−245+125+22)2+24atan⁡(2345+1)- \frac{4}{5} - \sqrt[4]{2} \operatorname{atan}{\left(1 - \frac{2^{\frac{3}{4}}}{5} \right)} + \frac{\sqrt[4]{2} \log{\left(\frac{1}{25} + \frac{\sqrt[4]{2}}{5} + \frac{\sqrt{2}}{2} \right)}}{2} + \frac{\log{\left(\frac{627}{625} \right)}}{5} - \frac{\sqrt[4]{2} \log{\left(- \frac{\sqrt[4]{2}}{5} + \frac{1}{25} + \frac{\sqrt{2}}{2} \right)}}{2} + \sqrt[4]{2} \operatorname{atan}{\left(\frac{2^{\frac{3}{4}}}{5} + 1 \right)} 
=
= 
                                                 /       ___   4 ___\                                   /       ___   4 ___\
         /627\                          4 ___    |1    \/ 2    \/ 2 |                          4 ___    |1    \/ 2    \/ 2 |
      log|---|             /     3/4\   \/ 2 *log|-- + ----- + -----|             /     3/4\   \/ 2 *log|-- + ----- - -----|
  4      \625/   4 ___     |    2   |            \25     2       5  /   4 ___     |    2   |            \25     2       5  /
- - + -------- + \/ 2 *atan|1 + ----| + ----------------------------- - \/ 2 *atan|1 - ----| - -----------------------------
  5      5                 \     5  /                 2                           \     5  /                 2
−45−24atan⁡(1−2345)+24log⁡(125+245+22)2+log⁡(627625)5−24log⁡(−245+125+22)2+24atan⁡(2345+1)- \frac{4}{5} - \sqrt[4]{2} \operatorname{atan}{\left(1 - \frac{2^{\frac{3}{4}}}{5} \right)} + \frac{\sqrt[4]{2} \log{\left(\frac{1}{25} + \frac{\sqrt[4]{2}}{5} + \frac{\sqrt{2}}{2} \right)}}{2} + \frac{\log{\left(\frac{627}{625} \right)}}{5} - \frac{\sqrt[4]{2} \log{\left(- \frac{\sqrt[4]{2}}{5} + \frac{1}{25} + \frac{\sqrt{2}}{2} \right)}}{2} + \sqrt[4]{2} \operatorname{atan}{\left(\frac{2^{\frac{3}{4}}}{5} + 1 \right)} 
-4/5 + log(627/625)/5 + 2^(1/4)*atan(1 + 2^(3/4)/5) + 2^(1/4)*log(1/25 + sqrt(2)/2 + 2^(1/4)/5)/2 - 2^(1/4)*atan(1 - 2^(3/4)/5) - 2^(1/4)*log(1/25 + sqrt(2)/2 - 2^(1/4)/5)/2
Respuesta numérica [src] 
0.000127886389955481
0.000127886389955481

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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