Integral de e^(x^2)*cos(e^x^2)*x dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = e^{x^{2}}$.

      Luego que $du = 2 x e^{x^{2}} dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$

         1. La integral del coseno es seno:

            $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\sin{\left(e^{x^{2}} \right)}}{2}$

   Método #2

   1. que $u = x^{2}$.

      Luego que $du = 2 x dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

      $\int \frac{e^{u} \cos{\left(e^{u} \right)}}{2}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int e^{u} \cos{\left(e^{u} \right)}\, du = \frac{\int e^{u} \cos{\left(e^{u} \right)}\, du}{2}$

         1. que $u = e^{u}$.

            Luego que $du = e^{u} du$ y ponemos $du$:

            $\int \cos{\left(u \right)}\, du$

            1. La integral del coseno es seno:

               $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\sin{\left(e^{u} \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(e^{u} \right)}}{2}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\sin{\left(e^{x^{2}} \right)}}{2}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{\sin{\left(e^{x^{2}} \right)}}{2}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\sin{\left(e^{x^{2}} \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\sin{\left(e^{x^{2}} \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$