Integral de xln^2(2x^2+7) dx

1. que $u = \log{\left(2 x^{2} + 7 \right)}$.

   Luego que $du = \frac{4 x dx}{2 x^{2} + 7}$ y ponemos $\frac{du}{4}$:

   $\int \frac{u^{2} e^{u}}{4}\, du$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int u^{2} e^{u}\, du = \frac{\int u^{2} e^{u}\, du}{4}$

      1. Usamos la integración por partes:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         que $u{\left(u \right)} = u^{2}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

         Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 2 u$.

         Para buscar $v{\left(u \right)}$:

         1. La integral de la función exponencial es la mesma.

            $\int e^{u}\, du = e^{u}$

         Ahora resolvemos podintegral.

      2. Usamos la integración por partes:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         que $u{\left(u \right)} = 2 u$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

         Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 2$.

         Para buscar $v{\left(u \right)}$:

         1. La integral de la función exponencial es la mesma.

            $\int e^{u}\, du = e^{u}$

         Ahora resolvemos podintegral.

      3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 2 e^{u}\, du = 2 \int e^{u}\, du$

         1. La integral de la función exponencial es la mesma.

            $\int e^{u}\, du = e^{u}$

         Por lo tanto, el resultado es: $2 e^{u}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{2} e^{u}}{4} - \frac{u e^{u}}{2} + \frac{e^{u}}{2}$

   Si ahora sustituir $u$ más en:

   $x^{2} + \frac{\left(2 x^{2} + 7\right) \log{\left(2 x^{2} + 7 \right)}^{2}}{4} - \frac{\left(2 x^{2} + 7\right) \log{\left(2 x^{2} + 7 \right)}}{2} + \frac{7}{2}$

2. Ahora simplificar:

   $x^{2} + \frac{\left(2 x^{2} + 7\right) \log{\left(2 x^{2} + 7 \right)}^{2}}{4} - \frac{\left(2 x^{2} + 7\right) \log{\left(2 x^{2} + 7 \right)}}{2} + \frac{7}{2}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $x^{2} + \frac{\left(2 x^{2} + 7\right) \log{\left(2 x^{2} + 7 \right)}^{2}}{4} - \frac{\left(2 x^{2} + 7\right) \log{\left(2 x^{2} + 7 \right)}}{2} + \frac{7}{2}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$x^{2} + \frac{\left(2 x^{2} + 7\right) \log{\left(2 x^{2} + 7 \right)}^{2}}{4} - \frac{\left(2 x^{2} + 7\right) \log{\left(2 x^{2} + 7 \right)}}{2} + \frac{7}{2}+ \mathrm{constant}$