Integral de xln(2-x) dx

1. Usamos la integración por partes:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   que $u{\left(x \right)} = \log{\left(2 - x \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = x$.

   Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = - \frac{1}{2 - x}$.

   Para buscar $v{\left(x \right)}$:

   1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

      $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

   Ahora resolvemos podintegral.

2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

   $\int \left(- \frac{x^{2}}{2 \left(2 - x\right)}\right)\, dx = - \frac{\int \frac{x^{2}}{2 - x}\, dx}{2}$

   1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{x^{2}}{2 - x} = - x - 2 - \frac{4}{x - 2}$

      2. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- x\right)\, dx = - \int x\, dx$

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{x^{2}}{2}$

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int \left(-2\right)\, dx = - 2 x$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- \frac{4}{x - 2}\right)\, dx = - 4 \int \frac{1}{x - 2}\, dx$

            1. que $u = x - 2$.

               Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

               $\int \frac{1}{u}\, du$

               1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\log{\left(x - 2 \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- 4 \log{\left(x - 2 \right)}$

         El resultado es: $- \frac{x^{2}}{2} - 2 x - 4 \log{\left(x - 2 \right)}$

      Método #2

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{x^{2}}{2 - x} = - \frac{x^{2}}{x - 2}$

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{x^{2}}{x - 2}\right)\, dx = - \int \frac{x^{2}}{x - 2}\, dx$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{x^{2}}{x - 2} = x + 2 + \frac{4}{x - 2}$

         2. Integramos término a término:

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int 2\, dx = 2 x$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{4}{x - 2}\, dx = 4 \int \frac{1}{x - 2}\, dx$

               1. que $u = x - 2$.

                  Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

                  $\int \frac{1}{u}\, du$

                  1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\log{\left(x - 2 \right)}$

               Por lo tanto, el resultado es: $4 \log{\left(x - 2 \right)}$

            El resultado es: $\frac{x^{2}}{2} + 2 x + 4 \log{\left(x - 2 \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{x^{2}}{2} - 2 x - 4 \log{\left(x - 2 \right)}$

   Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x^{2}}{4} + x + 2 \log{\left(x - 2 \right)}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{x^{2} \log{\left(2 - x \right)}}{2} - \frac{x^{2}}{4} - x - 2 \log{\left(x - 2 \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{x^{2} \log{\left(2 - x \right)}}{2} - \frac{x^{2}}{4} - x - 2 \log{\left(x - 2 \right)}+ \mathrm{constant}$