Sr Examen

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Integral de xln(3x-5) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
  1                  
  /                  
 |                   
 |  x*log(3*x - 5) dx
 |                   
/                    
0                    
01xlog(3x5)dx\int\limits_{0}^{1} x \log{\left(3 x - 5 \right)}\, dx
Integral(x*log(3*x - 5), (x, 0, 1))
Solución detallada
  1. Usamos la integración por partes:

    udv=uvvdu\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

    que u(x)=log(3x5)u{\left(x \right)} = \log{\left(3 x - 5 \right)} y que dv(x)=x\operatorname{dv}{\left(x \right)} = x.

    Entonces du(x)=33x5\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{3}{3 x - 5}.

    Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

    1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n1n \neq -1:

      xdx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

    Ahora resolvemos podintegral.

  2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

    3x22(3x5)dx=3x23x5dx2\int \frac{3 x^{2}}{2 \left(3 x - 5\right)}\, dx = \frac{3 \int \frac{x^{2}}{3 x - 5}\, dx}{2}

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      x23x5=x3+59+259(3x5)\frac{x^{2}}{3 x - 5} = \frac{x}{3} + \frac{5}{9} + \frac{25}{9 \left(3 x - 5\right)}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        x3dx=xdx3\int \frac{x}{3}\, dx = \frac{\int x\, dx}{3}

        1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n1n \neq -1:

          xdx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: x26\frac{x^{2}}{6}

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

        59dx=5x9\int \frac{5}{9}\, dx = \frac{5 x}{9}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        259(3x5)dx=2513x5dx9\int \frac{25}{9 \left(3 x - 5\right)}\, dx = \frac{25 \int \frac{1}{3 x - 5}\, dx}{9}

        1. que u=3x5u = 3 x - 5.

          Luego que du=3dxdu = 3 dx y ponemos du3\frac{du}{3}:

          13udu\int \frac{1}{3 u}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            1udu=1udu3\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{3}

            1. Integral 1u\frac{1}{u} es log(u)\log{\left(u \right)}.

            Por lo tanto, el resultado es: log(u)3\frac{\log{\left(u \right)}}{3}

          Si ahora sustituir uu más en:

          log(3x5)3\frac{\log{\left(3 x - 5 \right)}}{3}

        Por lo tanto, el resultado es: 25log(3x5)27\frac{25 \log{\left(3 x - 5 \right)}}{27}

      El resultado es: x26+5x9+25log(3x5)27\frac{x^{2}}{6} + \frac{5 x}{9} + \frac{25 \log{\left(3 x - 5 \right)}}{27}

    Por lo tanto, el resultado es: x24+5x6+25log(3x5)18\frac{x^{2}}{4} + \frac{5 x}{6} + \frac{25 \log{\left(3 x - 5 \right)}}{18}

  3. Ahora simplificar:

    x2log(3x5)2x245x625log(3x5)18\frac{x^{2} \log{\left(3 x - 5 \right)}}{2} - \frac{x^{2}}{4} - \frac{5 x}{6} - \frac{25 \log{\left(3 x - 5 \right)}}{18}

  4. Añadimos la constante de integración:

    x2log(3x5)2x245x625log(3x5)18+constant\frac{x^{2} \log{\left(3 x - 5 \right)}}{2} - \frac{x^{2}}{4} - \frac{5 x}{6} - \frac{25 \log{\left(3 x - 5 \right)}}{18}+ \mathrm{constant}


Respuesta:

x2log(3x5)2x245x625log(3x5)18+constant\frac{x^{2} \log{\left(3 x - 5 \right)}}{2} - \frac{x^{2}}{4} - \frac{5 x}{6} - \frac{25 \log{\left(3 x - 5 \right)}}{18}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src]
  /                                                  2    2             
 |                         25*log(-5 + 3*x)   5*x   x    x *log(3*x - 5)
 | x*log(3*x - 5) dx = C - ---------------- - --- - -- + ---------------
 |                                18           6    4           2       
/                                                                       
xlog(3x5)dx=C+x2log(3x5)2x245x625log(3x5)18\int x \log{\left(3 x - 5 \right)}\, dx = C + \frac{x^{2} \log{\left(3 x - 5 \right)}}{2} - \frac{x^{2}}{4} - \frac{5 x}{6} - \frac{25 \log{\left(3 x - 5 \right)}}{18}
Gráfica
0.0000000.0000250.0000500.0000750.0001000.0001250.0001500.0001750.0002000.0002250.00025001
Respuesta [src]
  13   8*log(2)   25*log(5)   pi*I
- -- - -------- + --------- + ----
  12      9           18       2  
13128log(2)9+25log(5)18+iπ2- \frac{13}{12} - \frac{8 \log{\left(2 \right)}}{9} + \frac{25 \log{\left(5 \right)}}{18} + \frac{i \pi}{2}
=
=
  13   8*log(2)   25*log(5)   pi*I
- -- - -------- + --------- + ----
  12      9           18       2  
13128log(2)9+25log(5)18+iπ2- \frac{13}{12} - \frac{8 \log{\left(2 \right)}}{9} + \frac{25 \log{\left(5 \right)}}{18} + \frac{i \pi}{2}
-13/12 - 8*log(2)/9 + 25*log(5)/18 + pi*i/2
Respuesta numérica [src]
(0.535866273438521 + 1.5707963267949j)
(0.535866273438521 + 1.5707963267949j)

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.