Integral de xln(3x-5) dx

1. Usamos la integración por partes:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   que $u{\left(x \right)} = \log{\left(3 x - 5 \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = x$.

   Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{3}{3 x - 5}$.

   Para buscar $v{\left(x \right)}$:

   1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

      $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

   Ahora resolvemos podintegral.

2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

   $\int \frac{3 x^{2}}{2 \left(3 x - 5\right)}\, dx = \frac{3 \int \frac{x^{2}}{3 x - 5}\, dx}{2}$

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{x^{2}}{3 x - 5} = \frac{x}{3} + \frac{5}{9} + \frac{25}{9 \left(3 x - 5\right)}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{x}{3}\, dx = \frac{\int x\, dx}{3}$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x^{2}}{6}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int \frac{5}{9}\, dx = \frac{5 x}{9}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{25}{9 \left(3 x - 5\right)}\, dx = \frac{25 \int \frac{1}{3 x - 5}\, dx}{9}$

         1. que $u = 3 x - 5$.

            Luego que $du = 3 dx$ y ponemos $\frac{du}{3}$:

            $\int \frac{1}{3 u}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{3}$

               1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u \right)}}{3}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\log{\left(3 x - 5 \right)}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{25 \log{\left(3 x - 5 \right)}}{27}$

      El resultado es: $\frac{x^{2}}{6} + \frac{5 x}{9} + \frac{25 \log{\left(3 x - 5 \right)}}{27}$

   Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x^{2}}{4} + \frac{5 x}{6} + \frac{25 \log{\left(3 x - 5 \right)}}{18}$

3. Ahora simplificar:

   $\frac{x^{2} \log{\left(3 x - 5 \right)}}{2} - \frac{x^{2}}{4} - \frac{5 x}{6} - \frac{25 \log{\left(3 x - 5 \right)}}{18}$

4. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{x^{2} \log{\left(3 x - 5 \right)}}{2} - \frac{x^{2}}{4} - \frac{5 x}{6} - \frac{25 \log{\left(3 x - 5 \right)}}{18}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{x^{2} \log{\left(3 x - 5 \right)}}{2} - \frac{x^{2}}{4} - \frac{5 x}{6} - \frac{25 \log{\left(3 x - 5 \right)}}{18}+ \mathrm{constant}$