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Resolución de integrales/ (3x-5)/ xln(3x-5)

Integral de xln(3x-5) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                  
  /                  
 |                   
 |  x*log(3*x - 5) dx
 |                   
/                    
0
∫01xlog⁡(3x−5) dx\int\limits_{0}^{1} x \log{\left(3 x - 5 \right)}\, dx 
Integral(x*log(3*x - 5), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Usamos la integración por partes:

    ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

    que u(x)=log⁡(3x−5)u{\left(x \right)} = \log{\left(3 x - 5 \right)} y que dv⁡(x)=x\operatorname{dv}{\left(x \right)} = x.

    Entonces du⁡(x)=33x−5\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{3}{3 x - 5}.

    Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

    1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

      ∫x dx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

    Ahora resolvemos podintegral.

  2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

    ∫3x22(3x−5) dx=3∫x23x−5 dx2\int \frac{3 x^{2}}{2 \left(3 x - 5\right)}\, dx = \frac{3 \int \frac{x^{2}}{3 x - 5}\, dx}{2}

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      x23x−5=x3+59+259(3x−5)\frac{x^{2}}{3 x - 5} = \frac{x}{3} + \frac{5}{9} + \frac{25}{9 \left(3 x - 5\right)}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫x3 dx=∫x dx3\int \frac{x}{3}\, dx = \frac{\int x\, dx}{3}

        1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫x dx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: x26\frac{x^{2}}{6}

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

        ∫59 dx=5x9\int \frac{5}{9}\, dx = \frac{5 x}{9}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫259(3x−5) dx=25∫13x−5 dx9\int \frac{25}{9 \left(3 x - 5\right)}\, dx = \frac{25 \int \frac{1}{3 x - 5}\, dx}{9}

        1. que u=3x−5u = 3 x - 5.

          Luego que du=3dxdu = 3 dx y ponemos du3\frac{du}{3}:

          ∫13u du\int \frac{1}{3 u}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫1u du=∫1u du3\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{3}

            1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

            Por lo tanto, el resultado es: log⁡(u)3\frac{\log{\left(u \right)}}{3}

          Si ahora sustituir uu más en:

          log⁡(3x−5)3\frac{\log{\left(3 x - 5 \right)}}{3}

        Por lo tanto, el resultado es: 25log⁡(3x−5)27\frac{25 \log{\left(3 x - 5 \right)}}{27}

      El resultado es: x26+5x9+25log⁡(3x−5)27\frac{x^{2}}{6} + \frac{5 x}{9} + \frac{25 \log{\left(3 x - 5 \right)}}{27}

    Por lo tanto, el resultado es: x24+5x6+25log⁡(3x−5)18\frac{x^{2}}{4} + \frac{5 x}{6} + \frac{25 \log{\left(3 x - 5 \right)}}{18}

  3. Ahora simplificar:

    x2log⁡(3x−5)2−x24−5x6−25log⁡(3x−5)18\frac{x^{2} \log{\left(3 x - 5 \right)}}{2} - \frac{x^{2}}{4} - \frac{5 x}{6} - \frac{25 \log{\left(3 x - 5 \right)}}{18}

  4. Añadimos la constante de integración:

    x2log⁡(3x−5)2−x24−5x6−25log⁡(3x−5)18+constant\frac{x^{2} \log{\left(3 x - 5 \right)}}{2} - \frac{x^{2}}{4} - \frac{5 x}{6} - \frac{25 \log{\left(3 x - 5 \right)}}{18}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

x2log⁡(3x−5)2−x24−5x6−25log⁡(3x−5)18+constant\frac{x^{2} \log{\left(3 x - 5 \right)}}{2} - \frac{x^{2}}{4} - \frac{5 x}{6} - \frac{25 \log{\left(3 x - 5 \right)}}{18}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                  2    2             
 |                         25*log(-5 + 3*x)   5*x   x    x *log(3*x - 5)
 | x*log(3*x - 5) dx = C - ---------------- - --- - -- + ---------------
 |                                18           6    4           2       
/
∫xlog⁡(3x−5) dx=C+x2log⁡(3x−5)2−x24−5x6−25log⁡(3x−5)18\int x \log{\left(3 x - 5 \right)}\, dx = C + \frac{x^{2} \log{\left(3 x - 5 \right)}}{2} - \frac{x^{2}}{4} - \frac{5 x}{6} - \frac{25 \log{\left(3 x - 5 \right)}}{18}
Simplificar
Gráfica
0.0000000.0000250.0000500.0000750.0001000.0001250.0001500.0001750.0002000.0002250.00025001
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
  13   8*log(2)   25*log(5)   pi*I
- -- - -------- + --------- + ----
  12      9           18       2
−1312−8log⁡(2)9+25log⁡(5)18+iπ2- \frac{13}{12} - \frac{8 \log{\left(2 \right)}}{9} + \frac{25 \log{\left(5 \right)}}{18} + \frac{i \pi}{2} 
=
= 
  13   8*log(2)   25*log(5)   pi*I
- -- - -------- + --------- + ----
  12      9           18       2
−1312−8log⁡(2)9+25log⁡(5)18+iπ2- \frac{13}{12} - \frac{8 \log{\left(2 \right)}}{9} + \frac{25 \log{\left(5 \right)}}{18} + \frac{i \pi}{2} 
-13/12 - 8*log(2)/9 + 25*log(5)/18 + pi*i/2
Respuesta numérica [src] 
(0.535866273438521 + 1.5707963267949j)
(0.535866273438521 + 1.5707963267949j)

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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