Integral de xln|x-1|dx dx

Solución

Ha introducido [src]

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 |                   
 |  x*log(|x - 1|) dx
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0

$$\int\limits_{0}^{1} x \log{\left(\left|{x - 1}\right| \right)}\, dx$$

Integral(x*log(|x - 1|), (x, 0, 1))

Solución detallada

Usamos la integración por partes:

$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

que $u{\left(x \right)} = \log{\left(\left|{x - 1}\right| \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = x$ .

Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{\left(\left(\operatorname{re}{\left(x\right)} - 1\right) \frac{d}{d x} \operatorname{re}{\left(x\right)} + \operatorname{im}{\left(x\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{im}{\left(x\right)}\right) \operatorname{sign}{\left(x - 1 \right)}}{\left(x - 1\right) \left|{x - 1}\right|}$ .

Para buscar $v{\left(x \right)}$ :
1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
  
  $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$
Ahora resolvemos podintegral.
La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

$\int \frac{x^{2} \left(\left(\operatorname{re}{\left(x\right)} - 1\right) \frac{d}{d x} \operatorname{re}{\left(x\right)} + \operatorname{im}{\left(x\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{im}{\left(x\right)}\right) \operatorname{sign}{\left(x - 1 \right)}}{2 \left(x - 1\right) \left|{x - 1}\right|}\, dx = \frac{\int \frac{x^{2} \left(\left(\operatorname{re}{\left(x\right)} - 1\right) \frac{d}{d x} \operatorname{re}{\left(x\right)} + \operatorname{im}{\left(x\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{im}{\left(x\right)}\right) \operatorname{sign}{\left(x - 1 \right)}}{\left(x - 1\right) \left|{x - 1}\right|}\, dx}{2}$
1. Hay varias maneras de calcular esta integral.
  Método #1
  1. Vuelva a escribir el integrando:
    
    $\frac{x^{2} \left(\left(\operatorname{re}{\left(x\right)} - 1\right) \frac{d}{d x} \operatorname{re}{\left(x\right)} + \operatorname{im}{\left(x\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{im}{\left(x\right)}\right) \operatorname{sign}{\left(x - 1 \right)}}{\left(x - 1\right) \left|{x - 1}\right|} = \frac{x^{2} \operatorname{re}{\left(x\right)} \operatorname{sign}{\left(x - 1 \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{re}{\left(x\right)} + x^{2} \operatorname{im}{\left(x\right)} \operatorname{sign}{\left(x - 1 \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{im}{\left(x\right)} - x^{2} \operatorname{sign}{\left(x - 1 \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{re}{\left(x\right)}}{x \left|{x - 1}\right| - \left|{x - 1}\right|}$
  2. Vuelva a escribir el integrando:
    
    $\frac{x^{2} \operatorname{re}{\left(x\right)} \operatorname{sign}{\left(x - 1 \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{re}{\left(x\right)} + x^{2} \operatorname{im}{\left(x\right)} \operatorname{sign}{\left(x - 1 \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{im}{\left(x\right)} - x^{2} \operatorname{sign}{\left(x - 1 \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{re}{\left(x\right)}}{x \left|{x - 1}\right| - \left|{x - 1}\right|} = \frac{x^{2} \operatorname{re}{\left(x\right)} \operatorname{sign}{\left(x - 1 \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{re}{\left(x\right)}}{x \left|{x - 1}\right| - \left|{x - 1}\right|} + \frac{x^{2} \operatorname{im}{\left(x\right)} \operatorname{sign}{\left(x - 1 \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{im}{\left(x\right)}}{x \left|{x - 1}\right| - \left|{x - 1}\right|} - \frac{x^{2} \operatorname{sign}{\left(x - 1 \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{re}{\left(x\right)}}{x \left|{x - 1}\right| - \left|{x - 1}\right|}$
  3. Integramos término a término:
    1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.
      
      Pero la integral
      
      $\int \frac{x^{2} \operatorname{re}{\left(x\right)} \operatorname{sign}{\left(x - 1 \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{re}{\left(x\right)}}{\left(x - 1\right) \left|{x - 1}\right|}\, dx$
    1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.
      
      Pero la integral
      
      $\int \frac{x^{2} \operatorname{im}{\left(x\right)} \operatorname{sign}{\left(x - 1 \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{im}{\left(x\right)}}{\left(x - 1\right) \left|{x - 1}\right|}\, dx$
    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \left(- \frac{x^{2} \operatorname{sign}{\left(x - 1 \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{re}{\left(x\right)}}{x \left|{x - 1}\right| - \left|{x - 1}\right|}\right)\, dx = - \int \frac{x^{2} \operatorname{sign}{\left(x - 1 \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{re}{\left(x\right)}}{x \left|{x - 1}\right| - \left|{x - 1}\right|}\, dx$
      
      No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.
      
      Pero la integral
      
      $\int \frac{x^{2} \operatorname{sign}{\left(x - 1 \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{re}{\left(x\right)}}{\left(x - 1\right) \left|{x - 1}\right|}\, dx$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \int \frac{x^{2} \operatorname{sign}{\left(x - 1 \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{re}{\left(x\right)}}{\left(x - 1\right) \left|{x - 1}\right|}\, dx$
    El resultado es: $- \int \frac{x^{2} \operatorname{sign}{\left(x - 1 \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{re}{\left(x\right)}}{\left(x - 1\right) \left|{x - 1}\right|}\, dx + \int \frac{x^{2} \operatorname{re}{\left(x\right)} \operatorname{sign}{\left(x - 1 \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{re}{\left(x\right)}}{\left(x - 1\right) \left|{x - 1}\right|}\, dx + \int \frac{x^{2} \operatorname{im}{\left(x\right)} \operatorname{sign}{\left(x - 1 \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{im}{\left(x\right)}}{\left(x - 1\right) \left|{x - 1}\right|}\, dx$
  Método #2
  1. Vuelva a escribir el integrando:
    
    $\frac{x^{2} \left(\left(\operatorname{re}{\left(x\right)} - 1\right) \frac{d}{d x} \operatorname{re}{\left(x\right)} + \operatorname{im}{\left(x\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{im}{\left(x\right)}\right) \operatorname{sign}{\left(x - 1 \right)}}{\left(x - 1\right) \left|{x - 1}\right|} = \frac{x^{2} \operatorname{re}{\left(x\right)} \operatorname{sign}{\left(x - 1 \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{re}{\left(x\right)}}{x \left|{x - 1}\right| - \left|{x - 1}\right|} + \frac{x^{2} \operatorname{im}{\left(x\right)} \operatorname{sign}{\left(x - 1 \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{im}{\left(x\right)}}{x \left|{x - 1}\right| - \left|{x - 1}\right|} - \frac{x^{2} \operatorname{sign}{\left(x - 1 \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{re}{\left(x\right)}}{x \left|{x - 1}\right| - \left|{x - 1}\right|}$
  2. Integramos término a término:
    1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.
      
      Pero la integral
      
      $\int \frac{x^{2} \operatorname{re}{\left(x\right)} \operatorname{sign}{\left(x - 1 \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{re}{\left(x\right)}}{\left(x - 1\right) \left|{x - 1}\right|}\, dx$
    1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.
      
      Pero la integral
      
      $\int \frac{x^{2} \operatorname{im}{\left(x\right)} \operatorname{sign}{\left(x - 1 \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{im}{\left(x\right)}}{\left(x - 1\right) \left|{x - 1}\right|}\, dx$
    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \left(- \frac{x^{2} \operatorname{sign}{\left(x - 1 \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{re}{\left(x\right)}}{x \left|{x - 1}\right| - \left|{x - 1}\right|}\right)\, dx = - \int \frac{x^{2} \operatorname{sign}{\left(x - 1 \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{re}{\left(x\right)}}{x \left|{x - 1}\right| - \left|{x - 1}\right|}\, dx$
      
      No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.
      
      Pero la integral
      
      $\int \frac{x^{2} \operatorname{sign}{\left(x - 1 \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{re}{\left(x\right)}}{\left(x - 1\right) \left|{x - 1}\right|}\, dx$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \int \frac{x^{2} \operatorname{sign}{\left(x - 1 \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{re}{\left(x\right)}}{\left(x - 1\right) \left|{x - 1}\right|}\, dx$
    El resultado es: $- \int \frac{x^{2} \operatorname{sign}{\left(x - 1 \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{re}{\left(x\right)}}{\left(x - 1\right) \left|{x - 1}\right|}\, dx + \int \frac{x^{2} \operatorname{re}{\left(x\right)} \operatorname{sign}{\left(x - 1 \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{re}{\left(x\right)}}{\left(x - 1\right) \left|{x - 1}\right|}\, dx + \int \frac{x^{2} \operatorname{im}{\left(x\right)} \operatorname{sign}{\left(x - 1 \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{im}{\left(x\right)}}{\left(x - 1\right) \left|{x - 1}\right|}\, dx$
Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\int \frac{x^{2} \operatorname{sign}{\left(x - 1 \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{re}{\left(x\right)}}{\left(x - 1\right) \left|{x - 1}\right|}\, dx}{2} + \frac{\int \frac{x^{2} \operatorname{re}{\left(x\right)} \operatorname{sign}{\left(x - 1 \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{re}{\left(x\right)}}{\left(x - 1\right) \left|{x - 1}\right|}\, dx}{2} + \frac{\int \frac{x^{2} \operatorname{im}{\left(x\right)} \operatorname{sign}{\left(x - 1 \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{im}{\left(x\right)}}{\left(x - 1\right) \left|{x - 1}\right|}\, dx}{2}$
Ahora simplificar:

$\frac{x^{2} \log{\left(\left|{x - 1}\right| \right)}}{2} + \frac{\int \frac{x^{2} \operatorname{sign}{\left(x - 1 \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{re}{\left(x\right)}}{\left(x - 1\right) \left|{x - 1}\right|}\, dx}{2} - \frac{\int \frac{x^{2} \operatorname{re}{\left(x\right)} \operatorname{sign}{\left(x - 1 \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{re}{\left(x\right)}}{\left(x - 1\right) \left|{x - 1}\right|}\, dx}{2} - \frac{\int \frac{x^{2} \operatorname{im}{\left(x\right)} \operatorname{sign}{\left(x - 1 \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{im}{\left(x\right)}}{\left(x - 1\right) \left|{x - 1}\right|}\, dx}{2}$
Añadimos la constante de integración:

$\frac{x^{2} \log{\left(\left|{x - 1}\right| \right)}}{2} + \frac{\int \frac{x^{2} \operatorname{sign}{\left(x - 1 \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{re}{\left(x\right)}}{\left(x - 1\right) \left|{x - 1}\right|}\, dx}{2} - \frac{\int \frac{x^{2} \operatorname{re}{\left(x\right)} \operatorname{sign}{\left(x - 1 \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{re}{\left(x\right)}}{\left(x - 1\right) \left|{x - 1}\right|}\, dx}{2} - \frac{\int \frac{x^{2} \operatorname{im}{\left(x\right)} \operatorname{sign}{\left(x - 1 \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{im}{\left(x\right)}}{\left(x - 1\right) \left|{x - 1}\right|}\, dx}{2}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{x^{2} \log{\left(\left|{x - 1}\right| \right)}}{2} + \frac{\int \frac{x^{2} \operatorname{sign}{\left(x - 1 \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{re}{\left(x\right)}}{\left(x - 1\right) \left|{x - 1}\right|}\, dx}{2} - \frac{\int \frac{x^{2} \operatorname{re}{\left(x\right)} \operatorname{sign}{\left(x - 1 \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{re}{\left(x\right)}}{\left(x - 1\right) \left|{x - 1}\right|}\, dx}{2} - \frac{\int \frac{x^{2} \operatorname{im}{\left(x\right)} \operatorname{sign}{\left(x - 1 \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{im}{\left(x\right)}}{\left(x - 1\right) \left|{x - 1}\right|}\, dx}{2}+ \mathrm{constant}$

Respuesta (Indefinida) [src]

                             /                                 /                                       /                                                    
                            |                                 |                                       |                                                     
                            |  2 d                            |  2 d                                  |  2 d                                                
                            | x *--(re(x))*sign(-1 + x)       | x *--(im(x))*im(x)*sign(-1 + x)       | x *--(re(x))*re(x)*sign(-1 + x)                     
                            |    dx                           |    dx                                 |    dx                                               
                            | ------------------------- dx    | ------------------------------- dx    | ------------------------------- dx                  
                            |     (-1 + x)*|-1 + x|           |        (-1 + x)*|-1 + x|              |        (-1 + x)*|-1 + x|                            
  /                         |                                 |                                       |                                       2             
 |                         /                                 /                                       /                                       x *log(|x - 1|)
 | x*log(|x - 1|) dx = C + ------------------------------- - ------------------------------------- - ------------------------------------- + ---------------
 |                                        2                                    2                                       2                            2       
/

$$\int x \log{\left(\left|{x - 1}\right| \right)}\, dx = C + \frac{x^{2} \log{\left(\left|{x - 1}\right| \right)}}{2} + \frac{\int \frac{x^{2} \operatorname{sign}{\left(x - 1 \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{re}{\left(x\right)}}{\left(x - 1\right) \left|{x - 1}\right|}\, dx}{2} - \frac{\int \frac{x^{2} \operatorname{re}{\left(x\right)} \operatorname{sign}{\left(x - 1 \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{re}{\left(x\right)}}{\left(x - 1\right) \left|{x - 1}\right|}\, dx}{2} - \frac{\int \frac{x^{2} \operatorname{im}{\left(x\right)} \operatorname{sign}{\left(x - 1 \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{im}{\left(x\right)}}{\left(x - 1\right) \left|{x - 1}\right|}\, dx}{2}$$

Gráfica

Trazar el gráfico f(x)

Respuesta [src]

-3/4

$$- \frac{3}{4}$$

-3/4

$$- \frac{3}{4}$$

-3/4

Respuesta numérica [src]

-0.75

-0.75

Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

Otras calculadoras

¿Cómo usar?

Expresiones idénticas

Expresiones semejantes

Expresiones con funciones

Integral de xln|x-1|dx dx

Límites de integración:

Gráfico:

Definida a trozos:

Solución

Método #1

Método #2