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Resolución de integrales/ 4-x^2/ (x+2)/ (2-x)/ xln[(2-x)(x+2)]/(4-x^2)

Integral de xln[(2-x)(x+2)]/(4-x^2) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                          
  /                          
 |                           
 |  x*log((2 - x)*(x + 2))   
 |  ---------------------- dx
 |               2           
 |          4 - x            
 |                           
/                            
0
∫01xlog⁡((2−x)(x+2))4−x2 dx\int\limits_{0}^{1} \frac{x \log{\left(\left(2 - x\right) \left(x + 2\right) \right)}}{4 - x^{2}}\, dx 
Integral((x*log((2 - x)*(x + 2)))/(4 - x^2), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      xlog⁡((2−x)(x+2))4−x2=−xlog⁡(4−x2)x2−4\frac{x \log{\left(\left(2 - x\right) \left(x + 2\right) \right)}}{4 - x^{2}} = - \frac{x \log{\left(4 - x^{2} \right)}}{x^{2} - 4}

    2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫(−xlog⁡(4−x2)x2−4) dx=−∫xlog⁡(4−x2)x2−4 dx\int \left(- \frac{x \log{\left(4 - x^{2} \right)}}{x^{2} - 4}\right)\, dx = - \int \frac{x \log{\left(4 - x^{2} \right)}}{x^{2} - 4}\, dx

      1. que u=x2−4u = x^{2} - 4.

        Luego que du=2xdxdu = 2 x dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

        ∫log⁡(−u)2u du\int \frac{\log{\left(- u \right)}}{2 u}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫log⁡(−u)u du=∫log⁡(−u)u du2\int \frac{\log{\left(- u \right)}}{u}\, du = \frac{\int \frac{\log{\left(- u \right)}}{u}\, du}{2}

          1. que u=1uu = \frac{1}{u}.

            Luego que du=−duu2du = - \frac{du}{u^{2}} y ponemos −du- du:

            ∫(−log⁡(−1u)u) du\int \left(- \frac{\log{\left(- \frac{1}{u} \right)}}{u}\right)\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫log⁡(−1u)u du=−∫log⁡(−1u)u du\int \frac{\log{\left(- \frac{1}{u} \right)}}{u}\, du = - \int \frac{\log{\left(- \frac{1}{u} \right)}}{u}\, du

              1. que u=log⁡(−1u)u = \log{\left(- \frac{1}{u} \right)}.

                Luego que du=−duudu = - \frac{du}{u} y ponemos −du- du:

                ∫(−u) du\int \left(- u\right)\, du

                1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  ∫u du=−∫u du\int u\, du = - \int u\, du

                  1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                    ∫u du=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

                  Por lo tanto, el resultado es: −u22- \frac{u^{2}}{2}

                Si ahora sustituir uu más en:

                −log⁡(−1u)22- \frac{\log{\left(- \frac{1}{u} \right)}^{2}}{2}

              Por lo tanto, el resultado es: log⁡(−1u)22\frac{\log{\left(- \frac{1}{u} \right)}^{2}}{2}

            Si ahora sustituir uu más en:

            log⁡(−u)22\frac{\log{\left(- u \right)}^{2}}{2}

          Por lo tanto, el resultado es: log⁡(−u)24\frac{\log{\left(- u \right)}^{2}}{4}

        Si ahora sustituir uu más en:

        log⁡(4−x2)24\frac{\log{\left(4 - x^{2} \right)}^{2}}{4}

      Por lo tanto, el resultado es: −log⁡(4−x2)24- \frac{\log{\left(4 - x^{2} \right)}^{2}}{4}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      xlog⁡((2−x)(x+2))4−x2=xlog⁡(4−x2)4−x2\frac{x \log{\left(\left(2 - x\right) \left(x + 2\right) \right)}}{4 - x^{2}} = \frac{x \log{\left(4 - x^{2} \right)}}{4 - x^{2}}

    2. que u=4−x2u = 4 - x^{2}.

      Luego que du=−2xdxdu = - 2 x dx y ponemos −du2- \frac{du}{2}:

      ∫(−log⁡(u)2u) du\int \left(- \frac{\log{\left(u \right)}}{2 u}\right)\, du

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫log⁡(u)u du=−∫log⁡(u)u du2\int \frac{\log{\left(u \right)}}{u}\, du = - \frac{\int \frac{\log{\left(u \right)}}{u}\, du}{2}

        1. que u=1uu = \frac{1}{u}.

          Luego que du=−duu2du = - \frac{du}{u^{2}} y ponemos −du- du:

          ∫(−log⁡(1u)u) du\int \left(- \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}}{u}\right)\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫log⁡(1u)u du=−∫log⁡(1u)u du\int \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}}{u}\, du = - \int \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}}{u}\, du

            1. que u=log⁡(1u)u = \log{\left(\frac{1}{u} \right)}.

              Luego que du=−duudu = - \frac{du}{u} y ponemos −du- du:

              ∫(−u) du\int \left(- u\right)\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫u du=−∫u du\int u\, du = - \int u\, du

                1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                  ∫u du=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

                Por lo tanto, el resultado es: −u22- \frac{u^{2}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              −log⁡(1u)22- \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: log⁡(1u)22\frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2}}{2}

          Si ahora sustituir uu más en:

          log⁡(u)22\frac{\log{\left(u \right)}^{2}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: −log⁡(u)24- \frac{\log{\left(u \right)}^{2}}{4}

      Si ahora sustituir uu más en:

      −log⁡(4−x2)24- \frac{\log{\left(4 - x^{2} \right)}^{2}}{4}

  2. Añadimos la constante de integración:

    −log⁡(4−x2)24+constant- \frac{\log{\left(4 - x^{2} \right)}^{2}}{4}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

−log⁡(4−x2)24+constant- \frac{\log{\left(4 - x^{2} \right)}^{2}}{4}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                            
 |                                    2/     2\
 | x*log((2 - x)*(x + 2))          log \4 - x /
 | ---------------------- dx = C - ------------
 |              2                       4      
 |         4 - x                               
 |                                             
/
∫xlog⁡((2−x)(x+2))4−x2 dx=C−log⁡(4−x2)24\int \frac{x \log{\left(\left(2 - x\right) \left(x + 2\right) \right)}}{4 - x^{2}}\, dx = C - \frac{\log{\left(4 - x^{2} \right)}^{2}}{4}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.901.0-1.0
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
     2         2   
  log (3)   log (4)
- ------- + -------
     4         4
−log⁡(3)24+log⁡(4)24- \frac{\log{\left(3 \right)}^{2}}{4} + \frac{\log{\left(4 \right)}^{2}}{4} 
=
= 
     2         2   
  log (3)   log (4)
- ------- + -------
     4         4
−log⁡(3)24+log⁡(4)24- \frac{\log{\left(3 \right)}^{2}}{4} + \frac{\log{\left(4 \right)}^{2}}{4} 
-log(3)^2/4 + log(4)^2/4
Respuesta numérica [src] 
0.178715773715056
0.178715773715056

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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