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Resolución de integrales/ ln(x)/ xln(x)/x(5+5x)

Integral de xln(x)/x(5+5x) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  6                      
  /                      
 |                       
 |  x*log(x)             
 |  --------*(5 + 5*x) dx
 |     x                 
 |                       
/                        
3
∫36xlog⁡(x)x(5x+5) dx\int\limits_{3}^{6} \frac{x \log{\left(x \right)}}{x} \left(5 x + 5\right)\, dx 
Integral(((x*log(x))/x)*(5 + 5*x), (x, 3, 6))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. que u=log⁡(x)u = \log{\left(x \right)}.

      Luego que du=dxxdu = \frac{dx}{x} y ponemos dudu:

      ∫(5ue2u+5ueu) du\int \left(5 u e^{2 u} + 5 u e^{u}\right)\, du

      1. Integramos término a término:

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫5ue2u du=5∫ue2u du\int 5 u e^{2 u}\, du = 5 \int u e^{2 u}\, du

          1. Usamos la integración por partes:

            ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

            que u(u)=uu{\left(u \right)} = u y que dv⁡(u)=e2u\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{2 u}.

            Entonces du⁡(u)=1\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1.

            Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

            1. que u=2uu = 2 u.

              Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

              ∫eu2 du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                False\text{False}

                1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

                Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              e2u2\frac{e^{2 u}}{2}

            Ahora resolvemos podintegral.

          2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫e2u2 du=∫e2u du2\int \frac{e^{2 u}}{2}\, du = \frac{\int e^{2 u}\, du}{2}

            1. que u=2uu = 2 u.

              Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

              ∫eu2 du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                False\text{False}

                1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

                Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              e2u2\frac{e^{2 u}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: e2u4\frac{e^{2 u}}{4}

          Por lo tanto, el resultado es: 5ue2u2−5e2u4\frac{5 u e^{2 u}}{2} - \frac{5 e^{2 u}}{4}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫5ueu du=5∫ueu du\int 5 u e^{u}\, du = 5 \int u e^{u}\, du

          1. Usamos la integración por partes:

            ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

            que u(u)=uu{\left(u \right)} = u y que dv⁡(u)=eu\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}.

            Entonces du⁡(u)=1\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1.

            Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

              ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

            Ahora resolvemos podintegral.

          2. La integral de la función exponencial es la mesma.

            ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

          Por lo tanto, el resultado es: 5ueu−5eu5 u e^{u} - 5 e^{u}

        El resultado es: 5ue2u2+5ueu−5e2u4−5eu\frac{5 u e^{2 u}}{2} + 5 u e^{u} - \frac{5 e^{2 u}}{4} - 5 e^{u}

      Si ahora sustituir uu más en:

      5x2log⁡(x)2−5x24+5xlog⁡(x)−5x\frac{5 x^{2} \log{\left(x \right)}}{2} - \frac{5 x^{2}}{4} + 5 x \log{\left(x \right)} - 5 x

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      xlog⁡(x)x(5x+5)=5xlog⁡(x)+5log⁡(x)\frac{x \log{\left(x \right)}}{x} \left(5 x + 5\right) = 5 x \log{\left(x \right)} + 5 \log{\left(x \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫5xlog⁡(x) dx=5∫xlog⁡(x) dx\int 5 x \log{\left(x \right)}\, dx = 5 \int x \log{\left(x \right)}\, dx

        1. que u=log⁡(x)u = \log{\left(x \right)}.

          Luego que du=dxxdu = \frac{dx}{x} y ponemos dudu:

          ∫ue2u du\int u e^{2 u}\, du

          1. Usamos la integración por partes:

            ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

            que u(u)=uu{\left(u \right)} = u y que dv⁡(u)=e2u\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{2 u}.

            Entonces du⁡(u)=1\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1.

            Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

            1. que u=2uu = 2 u.

              Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

              ∫eu2 du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                False\text{False}

                1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

                Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              e2u2\frac{e^{2 u}}{2}

            Ahora resolvemos podintegral.

          2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫e2u2 du=∫e2u du2\int \frac{e^{2 u}}{2}\, du = \frac{\int e^{2 u}\, du}{2}

            1. que u=2uu = 2 u.

              Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

              ∫eu2 du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                False\text{False}

                1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

                Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              e2u2\frac{e^{2 u}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: e2u4\frac{e^{2 u}}{4}

          Si ahora sustituir uu más en:

          x2log⁡(x)2−x24\frac{x^{2} \log{\left(x \right)}}{2} - \frac{x^{2}}{4}

        Por lo tanto, el resultado es: 5x2log⁡(x)2−5x24\frac{5 x^{2} \log{\left(x \right)}}{2} - \frac{5 x^{2}}{4}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫5log⁡(x) dx=5∫log⁡(x) dx\int 5 \log{\left(x \right)}\, dx = 5 \int \log{\left(x \right)}\, dx

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=log⁡(x)u{\left(x \right)} = \log{\left(x \right)} y que dv⁡(x)=1\operatorname{dv}{\left(x \right)} = 1.

          Entonces du⁡(x)=1x\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x}.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫1 dx=x\int 1\, dx = x

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

          ∫1 dx=x\int 1\, dx = x

        Por lo tanto, el resultado es: 5xlog⁡(x)−5x5 x \log{\left(x \right)} - 5 x

      El resultado es: 5x2log⁡(x)2−5x24+5xlog⁡(x)−5x\frac{5 x^{2} \log{\left(x \right)}}{2} - \frac{5 x^{2}}{4} + 5 x \log{\left(x \right)} - 5 x

    Método #3

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      xlog⁡(x)x(5x+5)=5xlog⁡(x)+5log⁡(x)\frac{x \log{\left(x \right)}}{x} \left(5 x + 5\right) = 5 x \log{\left(x \right)} + 5 \log{\left(x \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫5xlog⁡(x) dx=5∫xlog⁡(x) dx\int 5 x \log{\left(x \right)}\, dx = 5 \int x \log{\left(x \right)}\, dx

        1. que u=log⁡(x)u = \log{\left(x \right)}.

          Luego que du=dxxdu = \frac{dx}{x} y ponemos dudu:

          ∫ue2u du\int u e^{2 u}\, du

          1. Usamos la integración por partes:

            ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

            que u(u)=uu{\left(u \right)} = u y que dv⁡(u)=e2u\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{2 u}.

            Entonces du⁡(u)=1\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1.

            Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

            1. que u=2uu = 2 u.

              Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

              ∫eu2 du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                False\text{False}

                1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

                Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              e2u2\frac{e^{2 u}}{2}

            Ahora resolvemos podintegral.

          2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫e2u2 du=∫e2u du2\int \frac{e^{2 u}}{2}\, du = \frac{\int e^{2 u}\, du}{2}

            1. que u=2uu = 2 u.

              Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

              ∫eu2 du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                False\text{False}

                1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

                Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              e2u2\frac{e^{2 u}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: e2u4\frac{e^{2 u}}{4}

          Si ahora sustituir uu más en:

          x2log⁡(x)2−x24\frac{x^{2} \log{\left(x \right)}}{2} - \frac{x^{2}}{4}

        Por lo tanto, el resultado es: 5x2log⁡(x)2−5x24\frac{5 x^{2} \log{\left(x \right)}}{2} - \frac{5 x^{2}}{4}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫5log⁡(x) dx=5∫log⁡(x) dx\int 5 \log{\left(x \right)}\, dx = 5 \int \log{\left(x \right)}\, dx

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=log⁡(x)u{\left(x \right)} = \log{\left(x \right)} y que dv⁡(x)=1\operatorname{dv}{\left(x \right)} = 1.

          Entonces du⁡(x)=1x\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x}.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫1 dx=x\int 1\, dx = x

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

          ∫1 dx=x\int 1\, dx = x

        Por lo tanto, el resultado es: 5xlog⁡(x)−5x5 x \log{\left(x \right)} - 5 x

      El resultado es: 5x2log⁡(x)2−5x24+5xlog⁡(x)−5x\frac{5 x^{2} \log{\left(x \right)}}{2} - \frac{5 x^{2}}{4} + 5 x \log{\left(x \right)} - 5 x

  2. Ahora simplificar:

    5x(2xlog⁡(x)−x+4log⁡(x)−4)4\frac{5 x \left(2 x \log{\left(x \right)} - x + 4 \log{\left(x \right)} - 4\right)}{4}

  3. Añadimos la constante de integración:

    5x(2xlog⁡(x)−x+4log⁡(x)−4)4+constant\frac{5 x \left(2 x \log{\left(x \right)} - x + 4 \log{\left(x \right)} - 4\right)}{4}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

5x(2xlog⁡(x)−x+4log⁡(x)−4)4+constant\frac{5 x \left(2 x \log{\left(x \right)} - x + 4 \log{\left(x \right)} - 4\right)}{4}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                                 
 |                                      2                   2       
 | x*log(x)                          5*x                 5*x *log(x)
 | --------*(5 + 5*x) dx = C - 5*x - ---- + 5*x*log(x) + -----------
 |    x                               4                       2     
 |                                                                  
/
∫xlog⁡(x)x(5x+5) dx=C+5x2log⁡(x)2−5x24+5xlog⁡(x)−5x\int \frac{x \log{\left(x \right)}}{x} \left(5 x + 5\right)\, dx = C + \frac{5 x^{2} \log{\left(x \right)}}{2} - \frac{5 x^{2}}{4} + 5 x \log{\left(x \right)} - 5 x
Simplificar
Gráfica
3.006.003.253.503.754.004.254.504.755.005.255.505.750200
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
  195                75*log(3)
- --- + 120*log(6) - ---------
   4                     2
−1954−75log⁡(3)2+120log⁡(6)- \frac{195}{4} - \frac{75 \log{\left(3 \right)}}{2} + 120 \log{\left(6 \right)} 
=
= 
  195                75*log(3)
- --- + 120*log(6) - ---------
   4                     2
−1954−75log⁡(3)2+120log⁡(6)- \frac{195}{4} - \frac{75 \log{\left(3 \right)}}{2} + 120 \log{\left(6 \right)} 
-195/4 + 120*log(6) - 75*log(3)/2
Respuesta numérica [src] 
125.063175482312
125.063175482312

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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