Integral de xln(5x-1) dx

1. Usamos la integración por partes:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   que $u{\left(x \right)} = \log{\left(5 x - 1 \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = x$.

   Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{5}{5 x - 1}$.

   Para buscar $v{\left(x \right)}$:

   1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

      $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

   Ahora resolvemos podintegral.

2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

   $\int \frac{5 x^{2}}{2 \left(5 x - 1\right)}\, dx = \frac{5 \int \frac{x^{2}}{5 x - 1}\, dx}{2}$

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{x^{2}}{5 x - 1} = \frac{x}{5} + \frac{1}{25} + \frac{1}{25 \left(5 x - 1\right)}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{x}{5}\, dx = \frac{\int x\, dx}{5}$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x^{2}}{10}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int \frac{1}{25}\, dx = \frac{x}{25}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{1}{25 \left(5 x - 1\right)}\, dx = \frac{\int \frac{1}{5 x - 1}\, dx}{25}$

         1. que $u = 5 x - 1$.

            Luego que $du = 5 dx$ y ponemos $\frac{du}{5}$:

            $\int \frac{1}{5 u}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{5}$

               1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u \right)}}{5}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\log{\left(5 x - 1 \right)}}{5}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(5 x - 1 \right)}}{125}$

      El resultado es: $\frac{x^{2}}{10} + \frac{x}{25} + \frac{\log{\left(5 x - 1 \right)}}{125}$

   Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x^{2}}{4} + \frac{x}{10} + \frac{\log{\left(5 x - 1 \right)}}{50}$

3. Ahora simplificar:

   $\frac{x^{2} \log{\left(5 x - 1 \right)}}{2} - \frac{x^{2}}{4} - \frac{x}{10} - \frac{\log{\left(5 x - 1 \right)}}{50}$

4. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{x^{2} \log{\left(5 x - 1 \right)}}{2} - \frac{x^{2}}{4} - \frac{x}{10} - \frac{\log{\left(5 x - 1 \right)}}{50}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{x^{2} \log{\left(5 x - 1 \right)}}{2} - \frac{x^{2}}{4} - \frac{x}{10} - \frac{\log{\left(5 x - 1 \right)}}{50}+ \mathrm{constant}$