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¿Cómo usar?
Integral de d{x}:
Integral de 1/xlogx
Integral de (1)/x^2
Integral de 1/(x^2+6*x+10)
Integral de 1/(x²-1)
Expresiones idénticas
(x^ dos -x)*ln(uno /√x)
(x al cuadrado menos x) multiplicar por ln(1 dividir por √x)
(x en el grado dos menos x) multiplicar por ln(uno dividir por √x)
(x2-x)*ln(1/√x)
x2-x*ln1/√x
(x²-x)*ln(1/√x)
(x en el grado 2-x)*ln(1/√x)
(x^2-x)ln(1/√x)
(x2-x)ln(1/√x)
x2-xln1/√x
x^2-xln1/√x
(x^2-x)*ln(1 dividir por √x)
(x^2-x)*ln(1/√x)dx
Expresiones semejantes
(x^2+x)*ln(1/√x)
Expresiones con funciones
ln
ln(x/y)
ln(x)/(x*sqrt(1+(ln(x))^2))
ln(x)/x^n
ln(x^x)
ln(x)/(x^7)

Resolución de integrales/ x^2-x/ (1/√x)/ (x^2-x)*ln(1/√x)

Integral de (x^2-x)*ln(1/√x) dx

Solución

Ha introducido [src]

  1                       
  /                       
 |                        
 |  / 2    \    /  1  \   
 |  \x  - x/*log|-----| dx
 |              |  ___|   
 |              \\/ x /   
 |                        
/                         
0

$$\int\limits_{0}^{1} \left(x^{2} - x\right) \log{\left(\frac{1}{\sqrt{x}} \right)}\, dx$$

Integral((x^2 - x)*log(1/(sqrt(x))), (x, 0, 1))

Solución detallada

Hay varias maneras de calcular esta integral.
Método #1
1. que $u = - x$ .
  
  Luego que $du = - dx$ y ponemos $du$ :
  
  $\int \left(\frac{u^{2} \log{\left(- u \right)}}{2} + \frac{u \log{\left(- u \right)}}{2}\right)\, du$
  1. Integramos término a término:
    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \frac{u^{2} \log{\left(- u \right)}}{2}\, du = \frac{\int u^{2} \log{\left(- u \right)}\, du}{2}$
      
      que $u = - u$ .
      
      Luego que $du = - du$ y ponemos $- du$ :
      
      $\int \left(- u^{2} \log{\left(u \right)}\right)\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int u^{2} \log{\left(u \right)}\, du = - \int u^{2} \log{\left(u \right)}\, du$
      
      que $u = \log{\left(u \right)}$ .
      
      Luego que $du = \frac{du}{u}$ y ponemos $du$ :
      
      $\int u e^{3 u}\, du$
      
      Usamos la integración por partes:
      
      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$
      
      que $u{\left(u \right)} = u$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{3 u}$ .
      
      Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1$ .
      
      Para buscar $v{\left(u \right)}$ :
      
      que $u = 3 u$ .
      
      Luego que $du = 3 du$ y ponemos $\frac{du}{3}$ :
      
      $\int \frac{e^{u}}{3}\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\text{False}$
      
      La integral de la función exponencial es la mesma.
      
      $\int e^{u}\, du = e^{u}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{3}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{e^{3 u}}{3}$
      
      Ahora resolvemos podintegral.
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \frac{e^{3 u}}{3}\, du = \frac{\int e^{3 u}\, du}{3}$
      
      que $u = 3 u$ .
      
      Luego que $du = 3 du$ y ponemos $\frac{du}{3}$ :
      
      $\int \frac{e^{u}}{3}\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\text{False}$
      
      La integral de la función exponencial es la mesma.
      
      $\int e^{u}\, du = e^{u}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{3}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{e^{3 u}}{3}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{3 u}}{9}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{u^{3} \log{\left(u \right)}}{3} - \frac{u^{3}}{9}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{3} \log{\left(u \right)}}{3} + \frac{u^{3}}{9}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{u^{3} \log{\left(- u \right)}}{3} - \frac{u^{3}}{9}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{3} \log{\left(- u \right)}}{6} - \frac{u^{3}}{18}$
    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \frac{u \log{\left(- u \right)}}{2}\, du = \frac{\int u \log{\left(- u \right)}\, du}{2}$
      
      que $u = - u$ .
      
      Luego que $du = - du$ y ponemos $du$ :
      
      $\int u \log{\left(u \right)}\, du$
      
      que $u = \log{\left(u \right)}$ .
      
      Luego que $du = \frac{du}{u}$ y ponemos $du$ :
      
      $\int u e^{2 u}\, du$
      
      Usamos la integración por partes:
      
      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$
      
      que $u{\left(u \right)} = u$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{2 u}$ .
      
      Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1$ .
      
      Para buscar $v{\left(u \right)}$ :
      
      que $u = 2 u$ .
      
      Luego que $du = 2 du$ y ponemos $\frac{du}{2}$ :
      
      $\int \frac{e^{u}}{2}\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\text{False}$
      
      La integral de la función exponencial es la mesma.
      
      $\int e^{u}\, du = e^{u}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{2}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{e^{2 u}}{2}$
      
      Ahora resolvemos podintegral.
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \frac{e^{2 u}}{2}\, du = \frac{\int e^{2 u}\, du}{2}$
      
      que $u = 2 u$ .
      
      Luego que $du = 2 du$ y ponemos $\frac{du}{2}$ :
      
      $\int \frac{e^{u}}{2}\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\text{False}$
      
      La integral de la función exponencial es la mesma.
      
      $\int e^{u}\, du = e^{u}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{2}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{e^{2 u}}{2}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{2 u}}{4}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{u^{2} \log{\left(u \right)}}{2} - \frac{u^{2}}{4}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{u^{2} \log{\left(- u \right)}}{2} - \frac{u^{2}}{4}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{2} \log{\left(- u \right)}}{4} - \frac{u^{2}}{8}$
    El resultado es: $\frac{u^{3} \log{\left(- u \right)}}{6} - \frac{u^{3}}{18} + \frac{u^{2} \log{\left(- u \right)}}{4} - \frac{u^{2}}{8}$
  Si ahora sustituir $u$ más en:
  
  $- \frac{x^{3} \log{\left(x \right)}}{6} + \frac{x^{3}}{18} + \frac{x^{2} \log{\left(x \right)}}{4} - \frac{x^{2}}{8}$
Método #2
1. Vuelva a escribir el integrando:
  
  $\left(x^{2} - x\right) \log{\left(\frac{1}{\sqrt{x}} \right)} = - \frac{x^{2} \log{\left(x \right)}}{2} + \frac{x \log{\left(x \right)}}{2}$
2. Integramos término a término:
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int \left(- \frac{x^{2} \log{\left(x \right)}}{2}\right)\, dx = - \frac{\int x^{2} \log{\left(x \right)}\, dx}{2}$
    1. que $u = \log{\left(x \right)}$ .
      
      Luego que $du = \frac{dx}{x}$ y ponemos $du$ :
      
      $\int u e^{3 u}\, du$
      
      Usamos la integración por partes:
      
      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$
      
      que $u{\left(u \right)} = u$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{3 u}$ .
      
      Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1$ .
      
      Para buscar $v{\left(u \right)}$ :
      
      que $u = 3 u$ .
      
      Luego que $du = 3 du$ y ponemos $\frac{du}{3}$ :
      
      $\int \frac{e^{u}}{3}\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\text{False}$
      
      La integral de la función exponencial es la mesma.
      
      $\int e^{u}\, du = e^{u}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{3}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{e^{3 u}}{3}$
      
      Ahora resolvemos podintegral.
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \frac{e^{3 u}}{3}\, du = \frac{\int e^{3 u}\, du}{3}$
      
      que $u = 3 u$ .
      
      Luego que $du = 3 du$ y ponemos $\frac{du}{3}$ :
      
      $\int \frac{e^{u}}{3}\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\text{False}$
      
      La integral de la función exponencial es la mesma.
      
      $\int e^{u}\, du = e^{u}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{3}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{e^{3 u}}{3}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{3 u}}{9}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{x^{3} \log{\left(x \right)}}{3} - \frac{x^{3}}{9}$
    Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{x^{3} \log{\left(x \right)}}{6} + \frac{x^{3}}{18}$
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int \frac{x \log{\left(x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int x \log{\left(x \right)}\, dx}{2}$
    1. que $u = \log{\left(x \right)}$ .
      
      Luego que $du = \frac{dx}{x}$ y ponemos $du$ :
      
      $\int u e^{2 u}\, du$
      
      Usamos la integración por partes:
      
      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$
      
      que $u{\left(u \right)} = u$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{2 u}$ .
      
      Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1$ .
      
      Para buscar $v{\left(u \right)}$ :
      
      que $u = 2 u$ .
      
      Luego que $du = 2 du$ y ponemos $\frac{du}{2}$ :
      
      $\int \frac{e^{u}}{2}\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\text{False}$
      
      La integral de la función exponencial es la mesma.
      
      $\int e^{u}\, du = e^{u}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{2}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{e^{2 u}}{2}$
      
      Ahora resolvemos podintegral.
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \frac{e^{2 u}}{2}\, du = \frac{\int e^{2 u}\, du}{2}$
      
      que $u = 2 u$ .
      
      Luego que $du = 2 du$ y ponemos $\frac{du}{2}$ :
      
      $\int \frac{e^{u}}{2}\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\text{False}$
      
      La integral de la función exponencial es la mesma.
      
      $\int e^{u}\, du = e^{u}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{2}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{e^{2 u}}{2}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{2 u}}{4}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{x^{2} \log{\left(x \right)}}{2} - \frac{x^{2}}{4}$
    Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x^{2} \log{\left(x \right)}}{4} - \frac{x^{2}}{8}$
  El resultado es: $- \frac{x^{3} \log{\left(x \right)}}{6} + \frac{x^{3}}{18} + \frac{x^{2} \log{\left(x \right)}}{4} - \frac{x^{2}}{8}$
Método #3
1. Usamos la integración por partes:
  
  $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$
  
  que $u{\left(x \right)} = \log{\left(\frac{1}{\sqrt{x}} \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = x^{2} - x$ .
  
  Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = - \frac{1}{2 x}$ .
  
  Para buscar $v{\left(x \right)}$ :
  1. Vuelva a escribir el integrando:
    
    $x \left(x - 1\right) = x^{2} - x$
  2. Integramos término a término:
    1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$
    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \left(- x\right)\, dx = - \int x\, dx$
      
      Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{x^{2}}{2}$
    El resultado es: $\frac{x^{3}}{3} - \frac{x^{2}}{2}$
  Ahora resolvemos podintegral.
2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
  
  $\int \left(- \frac{\frac{x^{3}}{3} - \frac{x^{2}}{2}}{2 x}\right)\, dx = - \frac{\int \frac{\frac{x^{3}}{3} - \frac{x^{2}}{2}}{x}\, dx}{2}$
  1. Vuelva a escribir el integrando:
    
    $\frac{\frac{x^{3}}{3} - \frac{x^{2}}{2}}{x} = \frac{x^{2}}{3} - \frac{x}{2}$
  2. Integramos término a término:
    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \frac{x^{2}}{3}\, dx = \frac{\int x^{2}\, dx}{3}$
      
      Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x^{3}}{9}$
    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \left(- \frac{x}{2}\right)\, dx = - \frac{\int x\, dx}{2}$
      
      Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{x^{2}}{4}$
    El resultado es: $\frac{x^{3}}{9} - \frac{x^{2}}{4}$
  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{x^{3}}{18} + \frac{x^{2}}{8}$
Método #4
1. Vuelva a escribir el integrando:
  
  $\left(x^{2} - x\right) \log{\left(\frac{1}{\sqrt{x}} \right)} = - \frac{x^{2} \log{\left(x \right)}}{2} + \frac{x \log{\left(x \right)}}{2}$
2. Integramos término a término:
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int \left(- \frac{x^{2} \log{\left(x \right)}}{2}\right)\, dx = - \frac{\int x^{2} \log{\left(x \right)}\, dx}{2}$
    1. que $u = \log{\left(x \right)}$ .
      
      Luego que $du = \frac{dx}{x}$ y ponemos $du$ :
      
      $\int u e^{3 u}\, du$
      
      Usamos la integración por partes:
      
      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$
      
      que $u{\left(u \right)} = u$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{3 u}$ .
      
      Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1$ .
      
      Para buscar $v{\left(u \right)}$ :
      
      que $u = 3 u$ .
      
      Luego que $du = 3 du$ y ponemos $\frac{du}{3}$ :
      
      $\int \frac{e^{u}}{3}\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\text{False}$
      
      La integral de la función exponencial es la mesma.
      
      $\int e^{u}\, du = e^{u}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{3}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{e^{3 u}}{3}$
      
      Ahora resolvemos podintegral.
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \frac{e^{3 u}}{3}\, du = \frac{\int e^{3 u}\, du}{3}$
      
      que $u = 3 u$ .
      
      Luego que $du = 3 du$ y ponemos $\frac{du}{3}$ :
      
      $\int \frac{e^{u}}{3}\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\text{False}$
      
      La integral de la función exponencial es la mesma.
      
      $\int e^{u}\, du = e^{u}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{3}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{e^{3 u}}{3}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{3 u}}{9}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{x^{3} \log{\left(x \right)}}{3} - \frac{x^{3}}{9}$
    Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{x^{3} \log{\left(x \right)}}{6} + \frac{x^{3}}{18}$
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int \frac{x \log{\left(x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int x \log{\left(x \right)}\, dx}{2}$
    1. que $u = \log{\left(x \right)}$ .
      
      Luego que $du = \frac{dx}{x}$ y ponemos $du$ :
      
      $\int u e^{2 u}\, du$
      
      Usamos la integración por partes:
      
      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$
      
      que $u{\left(u \right)} = u$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{2 u}$ .
      
      Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1$ .
      
      Para buscar $v{\left(u \right)}$ :
      
      que $u = 2 u$ .
      
      Luego que $du = 2 du$ y ponemos $\frac{du}{2}$ :
      
      $\int \frac{e^{u}}{2}\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\text{False}$
      
      La integral de la función exponencial es la mesma.
      
      $\int e^{u}\, du = e^{u}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{2}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{e^{2 u}}{2}$
      
      Ahora resolvemos podintegral.
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \frac{e^{2 u}}{2}\, du = \frac{\int e^{2 u}\, du}{2}$
      
      que $u = 2 u$ .
      
      Luego que $du = 2 du$ y ponemos $\frac{du}{2}$ :
      
      $\int \frac{e^{u}}{2}\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\text{False}$
      
      La integral de la función exponencial es la mesma.
      
      $\int e^{u}\, du = e^{u}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{2}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{e^{2 u}}{2}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{2 u}}{4}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{x^{2} \log{\left(x \right)}}{2} - \frac{x^{2}}{4}$
    Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x^{2} \log{\left(x \right)}}{4} - \frac{x^{2}}{8}$
  El resultado es: $- \frac{x^{3} \log{\left(x \right)}}{6} + \frac{x^{3}}{18} + \frac{x^{2} \log{\left(x \right)}}{4} - \frac{x^{2}}{8}$
Ahora simplificar:

$\frac{x^{2} \left(- 12 x \log{\left(x \right)} + 4 x + 18 \log{\left(x \right)} - 9\right)}{72}$
Añadimos la constante de integración:

$\frac{x^{2} \left(- 12 x \log{\left(x \right)} + 4 x + 18 \log{\left(x \right)} - 9\right)}{72}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{x^{2} \left(- 12 x \log{\left(x \right)} + 4 x + 18 \log{\left(x \right)} - 9\right)}{72}+ \mathrm{constant}$

Respuesta (Indefinida) [src]

  /                                                            
 |                               2    3    3           2       
 | / 2    \    /  1  \          x    x    x *log(x)   x *log(x)
 | \x  - x/*log|-----| dx = C - -- + -- - --------- + ---------
 |             |  ___|          8    18       6           4    
 |             \\/ x /                                         
 |                                                             
/

$$\int \left(x^{2} - x\right) \log{\left(\frac{1}{\sqrt{x}} \right)}\, dx = C - \frac{x^{3} \log{\left(x \right)}}{6} + \frac{x^{3}}{18} + \frac{x^{2} \log{\left(x \right)}}{4} - \frac{x^{2}}{8}$$

Simplificar

Gráfica

Trazar el gráfico f(x)

Respuesta [src]

-5/72

$$- \frac{5}{72}$$

-5/72

$$- \frac{5}{72}$$

-5/72

Respuesta numérica [src]

-0.0694444444444444

-0.0694444444444444

Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

Otras calculadoras

¿Cómo usar?

Expresiones idénticas

Expresiones semejantes

Expresiones con funciones

Integral de (x^2-x)*ln(1/√x) dx

Límites de integración:

Gráfico:

Definida a trozos:

Solución

Método #1

Método #2

Método #3

Método #4