Integral de (1-0.4*x^2)^(1/2) dx

1. Vuelva a escribir el integrando:

   $\text{True}$

2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

   $\int \frac{\sqrt{5} \sqrt{5 - 2 x^{2}}}{5}\, dx = \frac{\sqrt{5} \int \sqrt{5 - 2 x^{2}}\, dx}{5}$

   TrigSubstitutionRule(theta=_theta, func=sqrt(10)*sin(_theta)/2, rewritten=5*sqrt(2)*cos(_theta)**2/2, substep=ConstantTimesRule(constant=5*sqrt(2)/2, other=cos(_theta)**2, substep=RewriteRule(rewritten=cos(2*_theta)/2 + 1/2, substep=AddRule(substeps=[ConstantTimesRule(constant=1/2, other=cos(2*_theta), substep=URule(u_var=_u, u_func=2*_theta, constant=1/2, substep=ConstantTimesRule(constant=1/2, other=cos(_u), substep=TrigRule(func='cos', arg=_u, context=cos(_u), symbol=_u), context=cos(_u), symbol=_u), context=cos(2*_theta), symbol=_theta), context=cos(2*_theta)/2, symbol=_theta), ConstantRule(constant=1/2, context=1/2, symbol=_theta)], context=cos(2*_theta)/2 + 1/2, symbol=_theta), context=cos(_theta)**2, symbol=_theta), context=5*sqrt(2)*cos(_theta)**2/2, symbol=_theta), restriction=(x > -sqrt(10)/2) & (x < sqrt(10)/2), context=sqrt(5 - 2*x**2), symbol=x)

   Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sqrt{5} \left(\begin{cases} \frac{5 \sqrt{2} \left(\frac{\sqrt{2} x \sqrt{5 - 2 x^{2}}}{10} + \frac{\operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{10} x}{5} \right)}}{2}\right)}{2} & \text{for}\: x > - \frac{\sqrt{10}}{2} \wedge x < \frac{\sqrt{10}}{2} \end{cases}\right)}{5}$

3. Ahora simplificar:

   $\begin{cases} \frac{x \sqrt{25 - 10 x^{2}}}{10} + \frac{\sqrt{10} \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{10} x}{5} \right)}}{4} & \text{for}\: x > - \frac{\sqrt{10}}{2} \wedge x < \frac{\sqrt{10}}{2} \end{cases}$

4. Añadimos la constante de integración:

   $\begin{cases} \frac{x \sqrt{25 - 10 x^{2}}}{10} + \frac{\sqrt{10} \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{10} x}{5} \right)}}{4} & \text{for}\: x > - \frac{\sqrt{10}}{2} \wedge x < \frac{\sqrt{10}}{2} \end{cases}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\begin{cases} \frac{x \sqrt{25 - 10 x^{2}}}{10} + \frac{\sqrt{10} \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{10} x}{5} \right)}}{4} & \text{for}\: x > - \frac{\sqrt{10}}{2} \wedge x < \frac{\sqrt{10}}{2} \end{cases}+ \mathrm{constant}$