Integral de x^2*sin(x/5) dx

1. Usamos la integración por partes:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   que $u{\left(x \right)} = x^{2}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(\frac{x}{5} \right)}$.

   Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 2 x$.

   Para buscar $v{\left(x \right)}$:

   1. que $u = \frac{x}{5}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{5}$ y ponemos $5 du$:

      $\int 5 \sin{\left(u \right)}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \sin{\left(u \right)}\, du = 5 \int \sin{\left(u \right)}\, du$

         1. La integral del seno es un coseno menos:

            $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 5 \cos{\left(u \right)}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- 5 \cos{\left(\frac{x}{5} \right)}$

   Ahora resolvemos podintegral.

2. Usamos la integración por partes:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   que $u{\left(x \right)} = - 10 x$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(\frac{x}{5} \right)}$.

   Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = -10$.

   Para buscar $v{\left(x \right)}$:

   1. que $u = \frac{x}{5}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{5}$ y ponemos $5 du$:

      $\int 5 \cos{\left(u \right)}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \cos{\left(u \right)}\, du = 5 \int \cos{\left(u \right)}\, du$

         1. La integral del coseno es seno:

            $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $5 \sin{\left(u \right)}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $5 \sin{\left(\frac{x}{5} \right)}$

   Ahora resolvemos podintegral.

3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

   $\int \left(- 50 \sin{\left(\frac{x}{5} \right)}\right)\, dx = - 50 \int \sin{\left(\frac{x}{5} \right)}\, dx$

   1. que $u = \frac{x}{5}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{5}$ y ponemos $5 du$:

      $\int 5 \sin{\left(u \right)}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \sin{\left(u \right)}\, du = 5 \int \sin{\left(u \right)}\, du$

         1. La integral del seno es un coseno menos:

            $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 5 \cos{\left(u \right)}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- 5 \cos{\left(\frac{x}{5} \right)}$

   Por lo tanto, el resultado es: $250 \cos{\left(\frac{x}{5} \right)}$

4. Añadimos la constante de integración:

   $- 5 x^{2} \cos{\left(\frac{x}{5} \right)} + 50 x \sin{\left(\frac{x}{5} \right)} + 250 \cos{\left(\frac{x}{5} \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- 5 x^{2} \cos{\left(\frac{x}{5} \right)} + 50 x \sin{\left(\frac{x}{5} \right)} + 250 \cos{\left(\frac{x}{5} \right)}+ \mathrm{constant}$