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Resolución de integrales/ (sinx)/ (sinx)^7

Integral de (sinx)^7 dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1           
  /           
 |            
 |     7      
 |  sin (x) dx
 |            
/             
0
∫01sin⁡7(x) dx\int\limits_{0}^{1} \sin^{7}{\left(x \right)}\, dx 
Integral(sin(x)^7, (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Vuelva a escribir el integrando:

    sin⁡7(x)=(1−cos⁡2(x))3sin⁡(x)\sin^{7}{\left(x \right)} = \left(1 - \cos^{2}{\left(x \right)}\right)^{3} \sin{\left(x \right)}

  2. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (1−cos⁡2(x))3sin⁡(x)=−sin⁡(x)cos⁡6(x)+3sin⁡(x)cos⁡4(x)−3sin⁡(x)cos⁡2(x)+sin⁡(x)\left(1 - \cos^{2}{\left(x \right)}\right)^{3} \sin{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)} \cos^{6}{\left(x \right)} + 3 \sin{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)} - 3 \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−sin⁡(x)cos⁡6(x)) dx=−∫sin⁡(x)cos⁡6(x) dx\int \left(- \sin{\left(x \right)} \cos^{6}{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \sin{\left(x \right)} \cos^{6}{\left(x \right)}\, dx

        1. que u=cos⁡(x)u = \cos{\left(x \right)}.

          Luego que du=−sin⁡(x)dxdu = - \sin{\left(x \right)} dx y ponemos −du- du:

          ∫(−u6) du\int \left(- u^{6}\right)\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫u6 du=−∫u6 du\int u^{6}\, du = - \int u^{6}\, du

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫u6 du=u77\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}

            Por lo tanto, el resultado es: −u77- \frac{u^{7}}{7}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −cos⁡7(x)7- \frac{\cos^{7}{\left(x \right)}}{7}

        Por lo tanto, el resultado es: cos⁡7(x)7\frac{\cos^{7}{\left(x \right)}}{7}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫3sin⁡(x)cos⁡4(x) dx=3∫sin⁡(x)cos⁡4(x) dx\int 3 \sin{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)}\, dx = 3 \int \sin{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)}\, dx

        1. que u=cos⁡(x)u = \cos{\left(x \right)}.

          Luego que du=−sin⁡(x)dxdu = - \sin{\left(x \right)} dx y ponemos −du- du:

          ∫(−u4) du\int \left(- u^{4}\right)\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫u4 du=−∫u4 du\int u^{4}\, du = - \int u^{4}\, du

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫u4 du=u55\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}

            Por lo tanto, el resultado es: −u55- \frac{u^{5}}{5}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −cos⁡5(x)5- \frac{\cos^{5}{\left(x \right)}}{5}

        Por lo tanto, el resultado es: −3cos⁡5(x)5- \frac{3 \cos^{5}{\left(x \right)}}{5}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−3sin⁡(x)cos⁡2(x)) dx=−3∫sin⁡(x)cos⁡2(x) dx\int \left(- 3 \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\right)\, dx = - 3 \int \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx

        1. que u=cos⁡(x)u = \cos{\left(x \right)}.

          Luego que du=−sin⁡(x)dxdu = - \sin{\left(x \right)} dx y ponemos −du- du:

          ∫(−u2) du\int \left(- u^{2}\right)\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫u2 du=−∫u2 du\int u^{2}\, du = - \int u^{2}\, du

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫u2 du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

            Por lo tanto, el resultado es: −u33- \frac{u^{3}}{3}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −cos⁡3(x)3- \frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3}

        Por lo tanto, el resultado es: cos⁡3(x)\cos^{3}{\left(x \right)}

      1. La integral del seno es un coseno menos:

        ∫sin⁡(x) dx=−cos⁡(x)\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}

      El resultado es: cos⁡7(x)7−3cos⁡5(x)5+cos⁡3(x)−cos⁡(x)\frac{\cos^{7}{\left(x \right)}}{7} - \frac{3 \cos^{5}{\left(x \right)}}{5} + \cos^{3}{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (1−cos⁡2(x))3sin⁡(x)=−sin⁡(x)cos⁡6(x)+3sin⁡(x)cos⁡4(x)−3sin⁡(x)cos⁡2(x)+sin⁡(x)\left(1 - \cos^{2}{\left(x \right)}\right)^{3} \sin{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)} \cos^{6}{\left(x \right)} + 3 \sin{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)} - 3 \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−sin⁡(x)cos⁡6(x)) dx=−∫sin⁡(x)cos⁡6(x) dx\int \left(- \sin{\left(x \right)} \cos^{6}{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \sin{\left(x \right)} \cos^{6}{\left(x \right)}\, dx

        1. que u=cos⁡(x)u = \cos{\left(x \right)}.

          Luego que du=−sin⁡(x)dxdu = - \sin{\left(x \right)} dx y ponemos −du- du:

          ∫(−u6) du\int \left(- u^{6}\right)\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫u6 du=−∫u6 du\int u^{6}\, du = - \int u^{6}\, du

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫u6 du=u77\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}

            Por lo tanto, el resultado es: −u77- \frac{u^{7}}{7}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −cos⁡7(x)7- \frac{\cos^{7}{\left(x \right)}}{7}

        Por lo tanto, el resultado es: cos⁡7(x)7\frac{\cos^{7}{\left(x \right)}}{7}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫3sin⁡(x)cos⁡4(x) dx=3∫sin⁡(x)cos⁡4(x) dx\int 3 \sin{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)}\, dx = 3 \int \sin{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)}\, dx

        1. que u=cos⁡(x)u = \cos{\left(x \right)}.

          Luego que du=−sin⁡(x)dxdu = - \sin{\left(x \right)} dx y ponemos −du- du:

          ∫(−u4) du\int \left(- u^{4}\right)\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫u4 du=−∫u4 du\int u^{4}\, du = - \int u^{4}\, du

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫u4 du=u55\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}

            Por lo tanto, el resultado es: −u55- \frac{u^{5}}{5}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −cos⁡5(x)5- \frac{\cos^{5}{\left(x \right)}}{5}

        Por lo tanto, el resultado es: −3cos⁡5(x)5- \frac{3 \cos^{5}{\left(x \right)}}{5}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−3sin⁡(x)cos⁡2(x)) dx=−3∫sin⁡(x)cos⁡2(x) dx\int \left(- 3 \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\right)\, dx = - 3 \int \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx

        1. que u=cos⁡(x)u = \cos{\left(x \right)}.

          Luego que du=−sin⁡(x)dxdu = - \sin{\left(x \right)} dx y ponemos −du- du:

          ∫(−u2) du\int \left(- u^{2}\right)\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫u2 du=−∫u2 du\int u^{2}\, du = - \int u^{2}\, du

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫u2 du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

            Por lo tanto, el resultado es: −u33- \frac{u^{3}}{3}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −cos⁡3(x)3- \frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3}

        Por lo tanto, el resultado es: cos⁡3(x)\cos^{3}{\left(x \right)}

      1. La integral del seno es un coseno menos:

        ∫sin⁡(x) dx=−cos⁡(x)\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}

      El resultado es: cos⁡7(x)7−3cos⁡5(x)5+cos⁡3(x)−cos⁡(x)\frac{\cos^{7}{\left(x \right)}}{7} - \frac{3 \cos^{5}{\left(x \right)}}{5} + \cos^{3}{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}

  3. Añadimos la constante de integración:

    cos⁡7(x)7−3cos⁡5(x)5+cos⁡3(x)−cos⁡(x)+constant\frac{\cos^{7}{\left(x \right)}}{7} - \frac{3 \cos^{5}{\left(x \right)}}{5} + \cos^{3}{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

cos⁡7(x)7−3cos⁡5(x)5+cos⁡3(x)−cos⁡(x)+constant\frac{\cos^{7}{\left(x \right)}}{7} - \frac{3 \cos^{5}{\left(x \right)}}{5} + \cos^{3}{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                       
 |                                          5         7   
 |    7                3               3*cos (x)   cos (x)
 | sin (x) dx = C + cos (x) - cos(x) - --------- + -------
 |                                         5          7   
/
∫sin⁡7(x) dx=C+cos⁡7(x)7−3cos⁡5(x)5+cos⁡3(x)−cos⁡(x)\int \sin^{7}{\left(x \right)}\, dx = C + \frac{\cos^{7}{\left(x \right)}}{7} - \frac{3 \cos^{5}{\left(x \right)}}{5} + \cos^{3}{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.901.0-1.0
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
                             5         7   
16      3               3*cos (1)   cos (1)
-- + cos (1) - cos(1) - --------- + -------
35                          5          7
−cos⁡(1)−3cos⁡5(1)5+cos⁡7(1)7+cos⁡3(1)+1635- \cos{\left(1 \right)} - \frac{3 \cos^{5}{\left(1 \right)}}{5} + \frac{\cos^{7}{\left(1 \right)}}{7} + \cos^{3}{\left(1 \right)} + \frac{16}{35} 
=
= 
                             5         7   
16      3               3*cos (1)   cos (1)
-- + cos (1) - cos(1) - --------- + -------
35                          5          7
−cos⁡(1)−3cos⁡5(1)5+cos⁡7(1)7+cos⁡3(1)+1635- \cos{\left(1 \right)} - \frac{3 \cos^{5}{\left(1 \right)}}{5} + \frac{\cos^{7}{\left(1 \right)}}{7} + \cos^{3}{\left(1 \right)} + \frac{16}{35} 
16/35 + cos(1)^3 - cos(1) - 3*cos(1)^5/5 + cos(1)^7/7
Respuesta numérica [src] 
0.0488623115305527
0.0488623115305527

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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