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Resolución de integrales/ sin(x)/ sin(2*x)/ sin(2*x)/(1+2*sin(x))

Integral de sin(2*x)/(1+2*sin(x)) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                
  /                
 |                 
 |    sin(2*x)     
 |  ------------ dx
 |  1 + 2*sin(x)   
 |                 
/                  
0
∫01sin⁡(2x)2sin⁡(x)+1 dx\int\limits_{0}^{1} \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2 \sin{\left(x \right)} + 1}\, dx 
Integral(sin(2*x)/(1 + 2*sin(x)), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫2sin⁡(x)cos⁡(x)2sin⁡(x)+1 dx=2∫sin⁡(x)cos⁡(x)2sin⁡(x)+1 dx\int \frac{2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{2 \sin{\left(x \right)} + 1}\, dx = 2 \int \frac{\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{2 \sin{\left(x \right)} + 1}\, dx

      1. que u=sin⁡(x)u = \sin{\left(x \right)}.

        Luego que du=cos⁡(x)dxdu = \cos{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

        ∫u2u+1 du\int \frac{u}{2 u + 1}\, du

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          u2u+1=12−12(2u+1)\frac{u}{2 u + 1} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2 \left(2 u + 1\right)}

        2. Integramos término a término:

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫12 du=u2\int \frac{1}{2}\, du = \frac{u}{2}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫(−12(2u+1)) du=−∫12u+1 du2\int \left(- \frac{1}{2 \left(2 u + 1\right)}\right)\, du = - \frac{\int \frac{1}{2 u + 1}\, du}{2}

            1. que u=2u+1u = 2 u + 1.

              Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

              ∫12u du\int \frac{1}{2 u}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫1u du=∫1u du2\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{2}

                1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

                Por lo tanto, el resultado es: log⁡(u)2\frac{\log{\left(u \right)}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              log⁡(2u+1)2\frac{\log{\left(2 u + 1 \right)}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: −log⁡(2u+1)4- \frac{\log{\left(2 u + 1 \right)}}{4}

          El resultado es: u2−log⁡(2u+1)4\frac{u}{2} - \frac{\log{\left(2 u + 1 \right)}}{4}

        Si ahora sustituir uu más en:

        −log⁡(2sin⁡(x)+1)4+sin⁡(x)2- \frac{\log{\left(2 \sin{\left(x \right)} + 1 \right)}}{4} + \frac{\sin{\left(x \right)}}{2}

      Por lo tanto, el resultado es: −log⁡(2sin⁡(x)+1)2+sin⁡(x)- \frac{\log{\left(2 \sin{\left(x \right)} + 1 \right)}}{2} + \sin{\left(x \right)}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      sin⁡(2x)2sin⁡(x)+1=2sin⁡(x)cos⁡(x)2sin⁡(x)+1\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2 \sin{\left(x \right)} + 1} = \frac{2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{2 \sin{\left(x \right)} + 1}

    2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫2sin⁡(x)cos⁡(x)2sin⁡(x)+1 dx=2∫sin⁡(x)cos⁡(x)2sin⁡(x)+1 dx\int \frac{2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{2 \sin{\left(x \right)} + 1}\, dx = 2 \int \frac{\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{2 \sin{\left(x \right)} + 1}\, dx

      1. que u=sin⁡(x)u = \sin{\left(x \right)}.

        Luego que du=cos⁡(x)dxdu = \cos{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

        ∫u2u+1 du\int \frac{u}{2 u + 1}\, du

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          u2u+1=12−12(2u+1)\frac{u}{2 u + 1} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2 \left(2 u + 1\right)}

        2. Integramos término a término:

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫12 du=u2\int \frac{1}{2}\, du = \frac{u}{2}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫(−12(2u+1)) du=−∫12u+1 du2\int \left(- \frac{1}{2 \left(2 u + 1\right)}\right)\, du = - \frac{\int \frac{1}{2 u + 1}\, du}{2}

            1. que u=2u+1u = 2 u + 1.

              Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

              ∫12u du\int \frac{1}{2 u}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫1u du=∫1u du2\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{2}

                1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

                Por lo tanto, el resultado es: log⁡(u)2\frac{\log{\left(u \right)}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              log⁡(2u+1)2\frac{\log{\left(2 u + 1 \right)}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: −log⁡(2u+1)4- \frac{\log{\left(2 u + 1 \right)}}{4}

          El resultado es: u2−log⁡(2u+1)4\frac{u}{2} - \frac{\log{\left(2 u + 1 \right)}}{4}

        Si ahora sustituir uu más en:

        −log⁡(2sin⁡(x)+1)4+sin⁡(x)2- \frac{\log{\left(2 \sin{\left(x \right)} + 1 \right)}}{4} + \frac{\sin{\left(x \right)}}{2}

      Por lo tanto, el resultado es: −log⁡(2sin⁡(x)+1)2+sin⁡(x)- \frac{\log{\left(2 \sin{\left(x \right)} + 1 \right)}}{2} + \sin{\left(x \right)}

  2. Añadimos la constante de integración:

    −log⁡(2sin⁡(x)+1)2+sin⁡(x)+constant- \frac{\log{\left(2 \sin{\left(x \right)} + 1 \right)}}{2} + \sin{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

−log⁡(2sin⁡(x)+1)2+sin⁡(x)+constant- \frac{\log{\left(2 \sin{\left(x \right)} + 1 \right)}}{2} + \sin{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                
 |                                                 
 |   sin(2*x)            log(1 + 2*sin(x))         
 | ------------ dx = C - ----------------- + sin(x)
 | 1 + 2*sin(x)                  2                 
 |                                                 
/
∫sin⁡(2x)2sin⁡(x)+1 dx=C−log⁡(2sin⁡(x)+1)2+sin⁡(x)\int \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2 \sin{\left(x \right)} + 1}\, dx = C - \frac{\log{\left(2 \sin{\left(x \right)} + 1 \right)}}{2} + \sin{\left(x \right)}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.900.00.5
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
  log(1 + 2*sin(1))         
- ----------------- + sin(1)
          2
−log⁡(1+2sin⁡(1))2+sin⁡(1)- \frac{\log{\left(1 + 2 \sin{\left(1 \right)} \right)}}{2} + \sin{\left(1 \right)} 
=
= 
  log(1 + 2*sin(1))         
- ----------------- + sin(1)
          2
−log⁡(1+2sin⁡(1))2+sin⁡(1)- \frac{\log{\left(1 + 2 \sin{\left(1 \right)} \right)}}{2} + \sin{\left(1 \right)} 
-log(1 + 2*sin(1))/2 + sin(1)
Respuesta numérica [src] 
0.348014013661588
0.348014013661588

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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