Integral de cos3x/(1+sin3x) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = 3 x$.

      Luego que $du = 3 dx$ y ponemos $du$:

      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{3 \sin{\left(u \right)} + 3}\, du$

      1. que $u = 3 \sin{\left(u \right)} + 3$.

         Luego que $du = 3 \cos{\left(u \right)} du$ y ponemos $\frac{du}{3}$:

         $\int \frac{1}{3 u}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{3}$

            1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u \right)}}{3}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{\log{\left(3 \sin{\left(u \right)} + 3 \right)}}{3}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\log{\left(3 \sin{\left(3 x \right)} + 3 \right)}}{3}$

   Método #2

   1. que $u = \sin{\left(3 x \right)} + 1$.

      Luego que $du = 3 \cos{\left(3 x \right)} dx$ y ponemos $\frac{du}{3}$:

      $\int \frac{1}{3 u}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{3}$

         1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u \right)}}{3}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\log{\left(\sin{\left(3 x \right)} + 1 \right)}}{3}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\log{\left(3 \sin{\left(3 x \right)} + 3 \right)}}{3}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\log{\left(3 \sin{\left(3 x \right)} + 3 \right)}}{3}+ \mathrm{constant}$