Integral de x*(ln(x^2+1))-2x+2arctg(x) dx

1. Integramos término a término:

   1. Integramos término a término:

      1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

         Método #1

         1. que $u = \log{\left(x^{2} + 1 \right)}$.

            Luego que $du = \frac{2 x dx}{x^{2} + 1}$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

            $\int \frac{u e^{u}}{2}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int u e^{u}\, du = \frac{\int u e^{u}\, du}{2}$

               1. Usamos la integración por partes:

                  $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

                  que $u{\left(u \right)} = u$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

                  Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1$.

                  Para buscar $v{\left(u \right)}$:

                  1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                     $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                  Ahora resolvemos podintegral.

               2. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u e^{u}}{2} - \frac{e^{u}}{2}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{x^{2}}{2} + \frac{\left(x^{2} + 1\right) \log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{2} - \frac{1}{2}$

         Método #2

         1. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(x \right)} = \log{\left(x^{2} + 1 \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = x$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{2 x}{x^{2} + 1}$.

            Para buscar $v{\left(x \right)}$:

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

            Ahora resolvemos podintegral.

         2. que $u = x^{2}$.

            Luego que $du = 2 x dx$ y ponemos $du$:

            $\int \frac{u}{2 u + 2}\, du$

            1. Vuelva a escribir el integrando:

               $\frac{u}{2 u + 2} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2 \left(u + 1\right)}$

            2. Integramos término a término:

               1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                  $\int \frac{1}{2}\, du = \frac{u}{2}$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \left(- \frac{1}{2 \left(u + 1\right)}\right)\, du = - \frac{\int \frac{1}{u + 1}\, du}{2}$

                  1. que $u = u + 1$.

                     Luego que $du = du$ y ponemos $du$:

                     $\int \frac{1}{u}\, du$

                     1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                     Si ahora sustituir $u$ más en:

                     $\log{\left(u + 1 \right)}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\log{\left(u + 1 \right)}}{2}$

               El resultado es: $\frac{u}{2} - \frac{\log{\left(u + 1 \right)}}{2}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{x^{2}}{2} - \frac{\log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{2}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 2 x\right)\, dx = - 2 \int x\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- x^{2}$

      El resultado es: $- \frac{3 x^{2}}{2} + \frac{\left(x^{2} + 1\right) \log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{2} - \frac{1}{2}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 2 \operatorname{atan}{\left(x \right)}\, dx = 2 \int \operatorname{atan}{\left(x \right)}\, dx$

      1. Usamos la integración por partes:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         que $u{\left(x \right)} = \operatorname{atan}{\left(x \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = 1$.

         Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x^{2} + 1}$.

         Para buscar $v{\left(x \right)}$:

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int 1\, dx = x$

         Ahora resolvemos podintegral.

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{x}{x^{2} + 1}\, dx = \frac{\int \frac{2 x}{x^{2} + 1}\, dx}{2}$

         1. que $u = x^{2} + 1$.

            Luego que $du = 2 x dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

            $\int \frac{1}{2 u}\, du$

            1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\log{\left(x^{2} + 1 \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{2}$

      Por lo tanto, el resultado es: $2 x \operatorname{atan}{\left(x \right)} - \log{\left(x^{2} + 1 \right)}$

   El resultado es: $- \frac{3 x^{2}}{2} + 2 x \operatorname{atan}{\left(x \right)} + \frac{\left(x^{2} + 1\right) \log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{2} - \log{\left(x^{2} + 1 \right)} - \frac{1}{2}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{x^{2} \log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{2} - \frac{3 x^{2}}{2} + 2 x \operatorname{atan}{\left(x \right)} - \frac{\log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{2} - \frac{1}{2}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{x^{2} \log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{2} - \frac{3 x^{2}}{2} + 2 x \operatorname{atan}{\left(x \right)} - \frac{\log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{2} - \frac{1}{2}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{x^{2} \log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{2} - \frac{3 x^{2}}{2} + 2 x \operatorname{atan}{\left(x \right)} - \frac{\log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{2} - \frac{1}{2}+ \mathrm{constant}$