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Resolución de integrales/ (2-x)/ x^2-1/ (2-x)/(x^2-1)

Integral de (2-x)/(x^2-1) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1          
  /          
 |           
 |  2 - x    
 |  ------ dx
 |   2       
 |  x  - 1   
 |           
/            
0
∫012−xx2−1 dx\int\limits_{0}^{1} \frac{2 - x}{x^{2} - 1}\, dx 
Integral((2 - x)/(x^2 - 1), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Vuelva a escribir el integrando:

    2−xx2−1=−xx2−1+2x2−1\frac{2 - x}{x^{2} - 1} = - \frac{x}{x^{2} - 1} + \frac{2}{x^{2} - 1}

  2. Integramos término a término:

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫(−xx2−1) dx=−∫2xx2−1 dx2\int \left(- \frac{x}{x^{2} - 1}\right)\, dx = - \frac{\int \frac{2 x}{x^{2} - 1}\, dx}{2}

      1. que u=x2−1u = x^{2} - 1.

        Luego que du=2xdxdu = 2 x dx y ponemos −du2- \frac{du}{2}:

        ∫(−12u) du\int \left(- \frac{1}{2 u}\right)\, du

        1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

        Si ahora sustituir uu más en:

        log⁡(x2−1)\log{\left(x^{2} - 1 \right)}

      Por lo tanto, el resultado es: −log⁡(x2−1)2- \frac{\log{\left(x^{2} - 1 \right)}}{2}

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫2x2−1 dx=2∫1x2−1 dx\int \frac{2}{x^{2} - 1}\, dx = 2 \int \frac{1}{x^{2} - 1}\, dx

        PieceweseRule(subfunctions=[(ArctanRule(a=1, b=1, c=-1, context=1/(x**2 - 1), symbol=x), False), (ArccothRule(a=1, b=1, c=-1, context=1/(x**2 - 1), symbol=x), x**2 > 1), (ArctanhRule(a=1, b=1, c=-1, context=1/(x**2 - 1), symbol=x), x**2 < 1)], context=1/(x**2 - 1), symbol=x)

      Por lo tanto, el resultado es: 2({−acoth⁡(x)for x2>1−atanh⁡(x)for x2<1)2 \left(\begin{cases} - \operatorname{acoth}{\left(x \right)} & \text{for}\: x^{2} > 1 \\- \operatorname{atanh}{\left(x \right)} & \text{for}\: x^{2} < 1 \end{cases}\right)

    El resultado es: 2({−acoth⁡(x)for x2>1−atanh⁡(x)for x2<1)−log⁡(x2−1)22 \left(\begin{cases} - \operatorname{acoth}{\left(x \right)} & \text{for}\: x^{2} > 1 \\- \operatorname{atanh}{\left(x \right)} & \text{for}\: x^{2} < 1 \end{cases}\right) - \frac{\log{\left(x^{2} - 1 \right)}}{2}

  3. Ahora simplificar:

    {−(log⁡(x2−1)2+2acoth⁡(x))for x2>1−(log⁡(x2−1)2+2atanh⁡(x))for x2<1\begin{cases} - (\frac{\log{\left(x^{2} - 1 \right)}}{2} + 2 \operatorname{acoth}{\left(x \right)}) & \text{for}\: x^{2} > 1 \\- (\frac{\log{\left(x^{2} - 1 \right)}}{2} + 2 \operatorname{atanh}{\left(x \right)}) & \text{for}\: x^{2} < 1 \end{cases}

  4. Añadimos la constante de integración:

    {−(log⁡(x2−1)2+2acoth⁡(x))for x2>1−(log⁡(x2−1)2+2atanh⁡(x))for x2<1+constant\begin{cases} - (\frac{\log{\left(x^{2} - 1 \right)}}{2} + 2 \operatorname{acoth}{\left(x \right)}) & \text{for}\: x^{2} > 1 \\- (\frac{\log{\left(x^{2} - 1 \right)}}{2} + 2 \operatorname{atanh}{\left(x \right)}) & \text{for}\: x^{2} < 1 \end{cases}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

{−(log⁡(x2−1)2+2acoth⁡(x))for x2>1−(log⁡(x2−1)2+2atanh⁡(x))for x2<1+constant\begin{cases} - (\frac{\log{\left(x^{2} - 1 \right)}}{2} + 2 \operatorname{acoth}{\left(x \right)}) & \text{for}\: x^{2} > 1 \\- (\frac{\log{\left(x^{2} - 1 \right)}}{2} + 2 \operatorname{atanh}{\left(x \right)}) & \text{for}\: x^{2} < 1 \end{cases}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                         
 |                   //                2    \      /      2\
 | 2 - x             ||-acoth(x)  for x  > 1|   log\-1 + x /
 | ------ dx = C + 2*|<                     | - ------------
 |  2                ||                2    |        2      
 | x  - 1            \\-atanh(x)  for x  < 1/               
 |                                                          
/
∫2−xx2−1 dx=C+2({−acoth⁡(x)for x2>1−atanh⁡(x)for x2<1)−log⁡(x2−1)2\int \frac{2 - x}{x^{2} - 1}\, dx = C + 2 \left(\begin{cases} - \operatorname{acoth}{\left(x \right)} & \text{for}\: x^{2} > 1 \\- \operatorname{atanh}{\left(x \right)} & \text{for}\: x^{2} < 1 \end{cases}\right) - \frac{\log{\left(x^{2} - 1 \right)}}{2}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.90-50005000
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
      pi*I
-oo - ----
       2
−∞−iπ2-\infty - \frac{i \pi}{2} 
=
= 
      pi*I
-oo - ----
       2
−∞−iπ2-\infty - \frac{i \pi}{2} 
-oo - pi*i/2
Respuesta numérica [src] 
-23.0851991639468
-23.0851991639468

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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