Integral de (6-2x^3+sqrt(x))/x dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \sqrt{x}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{2 \sqrt{x}}$ y ponemos $- du$:

      $\int \left(- \frac{4 u^{6} - 2 u - 12}{u}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{4 u^{6} - 2 u - 12}{u}\, du = - \int \frac{4 u^{6} - 2 u - 12}{u}\, du$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{4 u^{6} - 2 u - 12}{u} = 4 u^{5} - 2 - \frac{12}{u}$

         2. Integramos término a término:

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int 4 u^{5}\, du = 4 \int u^{5}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{5}\, du = \frac{u^{6}}{6}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 u^{6}}{3}$

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int \left(-2\right)\, du = - 2 u$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- \frac{12}{u}\right)\, du = - 12 \int \frac{1}{u}\, du$

               1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

               Por lo tanto, el resultado es: $- 12 \log{\left(u \right)}$

            El resultado es: $\frac{2 u^{6}}{3} - 2 u - 12 \log{\left(u \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2 u^{6}}{3} + 2 u + 12 \log{\left(u \right)}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $2 \sqrt{x} - \frac{2 x^{3}}{3} + 12 \log{\left(\sqrt{x} \right)}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{\sqrt{x} + \left(6 - 2 x^{3}\right)}{x} = - \frac{- \sqrt{x} + 2 x^{3} - 6}{x}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- \frac{- \sqrt{x} + 2 x^{3} - 6}{x}\right)\, dx = - \int \frac{- \sqrt{x} + 2 x^{3} - 6}{x}\, dx$

      1. que $u = \frac{1}{x}$.

         Luego que $du = - \frac{dx}{x^{2}}$ y ponemos $du$:

         $\int \frac{u^{3} \sqrt{\frac{1}{u}} + 6 u^{3} - 2}{u^{4}}\, du$

         1. que $u = \frac{1}{u}$.

            Luego que $du = - \frac{du}{u^{2}}$ y ponemos $- du$:

            $\int \left(- \frac{- 2 u^{\frac{15}{2}} + 6 u^{\frac{9}{2}} + u^{5}}{u^{\frac{11}{2}}}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{- 2 u^{\frac{15}{2}} + 6 u^{\frac{9}{2}} + u^{5}}{u^{\frac{11}{2}}}\, du = - \int \frac{- 2 u^{\frac{15}{2}} + 6 u^{\frac{9}{2}} + u^{5}}{u^{\frac{11}{2}}}\, du$

               1. Vuelva a escribir el integrando:

                  $\frac{- 2 u^{\frac{15}{2}} + 6 u^{\frac{9}{2}} + u^{5}}{u^{\frac{11}{2}}} = - 2 u^{2} + \frac{6}{u} + \frac{1}{\sqrt{u}}$

               2. Integramos término a término:

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \left(- 2 u^{2}\right)\, du = - 2 \int u^{2}\, du$

                     1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                        $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2 u^{3}}{3}$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \frac{6}{u}\, du = 6 \int \frac{1}{u}\, du$

                     1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                     Por lo tanto, el resultado es: $6 \log{\left(u \right)}$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = 2 \sqrt{u}$

                  El resultado es: $2 \sqrt{u} - \frac{2 u^{3}}{3} + 6 \log{\left(u \right)}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- 2 \sqrt{u} + \frac{2 u^{3}}{3} - 6 \log{\left(u \right)}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- 2 \sqrt{\frac{1}{u}} + 6 \log{\left(u \right)} + \frac{2}{3 u^{3}}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- 2 \sqrt{x} + \frac{2 x^{3}}{3} - 6 \log{\left(x \right)}$

      Por lo tanto, el resultado es: $2 \sqrt{x} - \frac{2 x^{3}}{3} + 6 \log{\left(x \right)}$

   Método #3

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{\sqrt{x} + \left(6 - 2 x^{3}\right)}{x} = - 2 x^{2} + \frac{6}{x} + \frac{1}{\sqrt{x}}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 2 x^{2}\right)\, dx = - 2 \int x^{2}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2 x^{3}}{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{6}{x}\, dx = 6 \int \frac{1}{x}\, dx$

         1. Integral $\frac{1}{x}$ es $\log{\left(x \right)}$.

         Por lo tanto, el resultado es: $6 \log{\left(x \right)}$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int \frac{1}{\sqrt{x}}\, dx = 2 \sqrt{x}$

      El resultado es: $2 \sqrt{x} - \frac{2 x^{3}}{3} + 6 \log{\left(x \right)}$

2. Ahora simplificar:

   $2 \sqrt{x} - \frac{2 x^{3}}{3} + 6 \log{\left(x \right)}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $2 \sqrt{x} - \frac{2 x^{3}}{3} + 6 \log{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$2 \sqrt{x} - \frac{2 x^{3}}{3} + 6 \log{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$