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Resolución de integrales/ sin(9x)/ (6x+9)*sin(9x)

Integral de (6x+9)*sin(9x) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                      
  /                      
 |                       
 |  (6*x + 9)*sin(9*x) dx
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/                        
0
∫01(6x+9)sin⁡(9x) dx\int\limits_{0}^{1} \left(6 x + 9\right) \sin{\left(9 x \right)}\, dx 
Integral((6*x + 9)*sin(9*x), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (6x+9)sin⁡(9x)=6xsin⁡(9x)+9sin⁡(9x)\left(6 x + 9\right) \sin{\left(9 x \right)} = 6 x \sin{\left(9 x \right)} + 9 \sin{\left(9 x \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫6xsin⁡(9x) dx=6∫xsin⁡(9x) dx\int 6 x \sin{\left(9 x \right)}\, dx = 6 \int x \sin{\left(9 x \right)}\, dx

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=xu{\left(x \right)} = x y que dv⁡(x)=sin⁡(9x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(9 x \right)}.

          Entonces du⁡(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. que u=9xu = 9 x.

            Luego que du=9dxdu = 9 dx y ponemos du9\frac{du}{9}:

            ∫sin⁡(u)9 du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{9}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) du9\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{9}

              1. La integral del seno es un coseno menos:

                ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)9- \frac{\cos{\left(u \right)}}{9}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −cos⁡(9x)9- \frac{\cos{\left(9 x \right)}}{9}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−cos⁡(9x)9) dx=−∫cos⁡(9x) dx9\int \left(- \frac{\cos{\left(9 x \right)}}{9}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(9 x \right)}\, dx}{9}

          1. que u=9xu = 9 x.

            Luego que du=9dxdu = 9 dx y ponemos du9\frac{du}{9}:

            ∫cos⁡(u)9 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{9}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du9\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{9}

              1. La integral del coseno es seno:

                ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)9\frac{\sin{\left(u \right)}}{9}

            Si ahora sustituir uu más en:

            sin⁡(9x)9\frac{\sin{\left(9 x \right)}}{9}

          Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡(9x)81- \frac{\sin{\left(9 x \right)}}{81}

        Por lo tanto, el resultado es: −2xcos⁡(9x)3+2sin⁡(9x)27- \frac{2 x \cos{\left(9 x \right)}}{3} + \frac{2 \sin{\left(9 x \right)}}{27}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫9sin⁡(9x) dx=9∫sin⁡(9x) dx\int 9 \sin{\left(9 x \right)}\, dx = 9 \int \sin{\left(9 x \right)}\, dx

        1. que u=9xu = 9 x.

          Luego que du=9dxdu = 9 dx y ponemos du9\frac{du}{9}:

          ∫sin⁡(u)9 du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{9}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) du9\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{9}

            1. La integral del seno es un coseno menos:

              ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)9- \frac{\cos{\left(u \right)}}{9}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −cos⁡(9x)9- \frac{\cos{\left(9 x \right)}}{9}

        Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(9x)- \cos{\left(9 x \right)}

      El resultado es: −2xcos⁡(9x)3+2sin⁡(9x)27−cos⁡(9x)- \frac{2 x \cos{\left(9 x \right)}}{3} + \frac{2 \sin{\left(9 x \right)}}{27} - \cos{\left(9 x \right)}

    Método #2

    1. Usamos la integración por partes:

      ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      que u(x)=6x+9u{\left(x \right)} = 6 x + 9 y que dv⁡(x)=sin⁡(9x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(9 x \right)}.

      Entonces du⁡(x)=6\operatorname{du}{\left(x \right)} = 6.

      Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

      1. que u=9xu = 9 x.

        Luego que du=9dxdu = 9 dx y ponemos du9\frac{du}{9}:

        ∫sin⁡(u)9 du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{9}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) du9\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{9}

          1. La integral del seno es un coseno menos:

            ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)9- \frac{\cos{\left(u \right)}}{9}

        Si ahora sustituir uu más en:

        −cos⁡(9x)9- \frac{\cos{\left(9 x \right)}}{9}

      Ahora resolvemos podintegral.

    2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫(−2cos⁡(9x)3) dx=−2∫cos⁡(9x) dx3\int \left(- \frac{2 \cos{\left(9 x \right)}}{3}\right)\, dx = - \frac{2 \int \cos{\left(9 x \right)}\, dx}{3}

      1. que u=9xu = 9 x.

        Luego que du=9dxdu = 9 dx y ponemos du9\frac{du}{9}:

        ∫cos⁡(u)9 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{9}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du9\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{9}

          1. La integral del coseno es seno:

            ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)9\frac{\sin{\left(u \right)}}{9}

        Si ahora sustituir uu más en:

        sin⁡(9x)9\frac{\sin{\left(9 x \right)}}{9}

      Por lo tanto, el resultado es: −2sin⁡(9x)27- \frac{2 \sin{\left(9 x \right)}}{27}

    Método #3

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (6x+9)sin⁡(9x)=6xsin⁡(9x)+9sin⁡(9x)\left(6 x + 9\right) \sin{\left(9 x \right)} = 6 x \sin{\left(9 x \right)} + 9 \sin{\left(9 x \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫6xsin⁡(9x) dx=6∫xsin⁡(9x) dx\int 6 x \sin{\left(9 x \right)}\, dx = 6 \int x \sin{\left(9 x \right)}\, dx

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=xu{\left(x \right)} = x y que dv⁡(x)=sin⁡(9x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(9 x \right)}.

          Entonces du⁡(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. que u=9xu = 9 x.

            Luego que du=9dxdu = 9 dx y ponemos du9\frac{du}{9}:

            ∫sin⁡(u)9 du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{9}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) du9\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{9}

              1. La integral del seno es un coseno menos:

                ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)9- \frac{\cos{\left(u \right)}}{9}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −cos⁡(9x)9- \frac{\cos{\left(9 x \right)}}{9}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−cos⁡(9x)9) dx=−∫cos⁡(9x) dx9\int \left(- \frac{\cos{\left(9 x \right)}}{9}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(9 x \right)}\, dx}{9}

          1. que u=9xu = 9 x.

            Luego que du=9dxdu = 9 dx y ponemos du9\frac{du}{9}:

            ∫cos⁡(u)9 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{9}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du9\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{9}

              1. La integral del coseno es seno:

                ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)9\frac{\sin{\left(u \right)}}{9}

            Si ahora sustituir uu más en:

            sin⁡(9x)9\frac{\sin{\left(9 x \right)}}{9}

          Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡(9x)81- \frac{\sin{\left(9 x \right)}}{81}

        Por lo tanto, el resultado es: −2xcos⁡(9x)3+2sin⁡(9x)27- \frac{2 x \cos{\left(9 x \right)}}{3} + \frac{2 \sin{\left(9 x \right)}}{27}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫9sin⁡(9x) dx=9∫sin⁡(9x) dx\int 9 \sin{\left(9 x \right)}\, dx = 9 \int \sin{\left(9 x \right)}\, dx

        1. que u=9xu = 9 x.

          Luego que du=9dxdu = 9 dx y ponemos du9\frac{du}{9}:

          ∫sin⁡(u)9 du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{9}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) du9\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{9}

            1. La integral del seno es un coseno menos:

              ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)9- \frac{\cos{\left(u \right)}}{9}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −cos⁡(9x)9- \frac{\cos{\left(9 x \right)}}{9}

        Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(9x)- \cos{\left(9 x \right)}

      El resultado es: −2xcos⁡(9x)3+2sin⁡(9x)27−cos⁡(9x)- \frac{2 x \cos{\left(9 x \right)}}{3} + \frac{2 \sin{\left(9 x \right)}}{27} - \cos{\left(9 x \right)}

  2. Añadimos la constante de integración:

    −2xcos⁡(9x)3+2sin⁡(9x)27−cos⁡(9x)+constant- \frac{2 x \cos{\left(9 x \right)}}{3} + \frac{2 \sin{\left(9 x \right)}}{27} - \cos{\left(9 x \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

−2xcos⁡(9x)3+2sin⁡(9x)27−cos⁡(9x)+constant- \frac{2 x \cos{\left(9 x \right)}}{3} + \frac{2 \sin{\left(9 x \right)}}{27} - \cos{\left(9 x \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                                
 |                                        2*sin(9*x)   2*x*cos(9*x)
 | (6*x + 9)*sin(9*x) dx = C - cos(9*x) + ---------- - ------------
 |                                            27            3      
/
∫(6x+9)sin⁡(9x) dx=C−2xcos⁡(9x)3+2sin⁡(9x)27−cos⁡(9x)\int \left(6 x + 9\right) \sin{\left(9 x \right)}\, dx = C - \frac{2 x \cos{\left(9 x \right)}}{3} + \frac{2 \sin{\left(9 x \right)}}{27} - \cos{\left(9 x \right)}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.90-2525
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
    5*cos(9)   2*sin(9)
1 - -------- + --------
       3          27
2sin⁡(9)27+1−5cos⁡(9)3\frac{2 \sin{\left(9 \right)}}{27} + 1 - \frac{5 \cos{\left(9 \right)}}{3} 
=
= 
    5*cos(9)   2*sin(9)
1 - -------- + --------
       3          27
2sin⁡(9)27+1−5cos⁡(9)3\frac{2 \sin{\left(9 \right)}}{27} + 1 - \frac{5 \cos{\left(9 \right)}}{3} 
1 - 5*cos(9)/3 + 2*sin(9)/27
Respuesta numérica [src] 
2.54907773167755
2.54907773167755

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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