Integral de ((x*(5-x))/2)*x dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = - x$.

      Luego que $du = - dx$ y ponemos $du$:

      $\int \left(- \frac{u^{3}}{2} - \frac{5 u^{2}}{2}\right)\, du$

      1. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- \frac{u^{3}}{2}\right)\, du = - \frac{\int u^{3}\, du}{2}$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{4}}{8}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- \frac{5 u^{2}}{2}\right)\, du = - \frac{5 \int u^{2}\, du}{2}$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{5 u^{3}}{6}$

         El resultado es: $- \frac{u^{4}}{8} - \frac{5 u^{3}}{6}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{x^{4}}{8} + \frac{5 x^{3}}{6}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $x \frac{x \left(5 - x\right)}{2} = - \frac{x^{3}}{2} + \frac{5 x^{2}}{2}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{x^{3}}{2}\right)\, dx = - \frac{\int x^{3}\, dx}{2}$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{x^{4}}{8}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{5 x^{2}}{2}\, dx = \frac{5 \int x^{2}\, dx}{2}$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{5 x^{3}}{6}$

      El resultado es: $- \frac{x^{4}}{8} + \frac{5 x^{3}}{6}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{x^{3} \left(20 - 3 x\right)}{24}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{x^{3} \left(20 - 3 x\right)}{24}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{x^{3} \left(20 - 3 x\right)}{24}+ \mathrm{constant}$