Integral de 4x^5lnx dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \log{\left(x \right)}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{x}$ y ponemos $4 du$:

      $\int 4 u e^{6 u}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int u e^{6 u}\, du = 4 \int u e^{6 u}\, du$

         1. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(u \right)} = u$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{6 u}$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1$.

            Para buscar $v{\left(u \right)}$:

            1. que $u = 6 u$.

               Luego que $du = 6 du$ y ponemos $\frac{du}{6}$:

               $\int \frac{e^{u}}{6}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\text{False}$

                  1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                     $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{6}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{e^{6 u}}{6}$

            Ahora resolvemos podintegral.

         2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{e^{6 u}}{6}\, du = \frac{\int e^{6 u}\, du}{6}$

            1. que $u = 6 u$.

               Luego que $du = 6 du$ y ponemos $\frac{du}{6}$:

               $\int \frac{e^{u}}{6}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\text{False}$

                  1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                     $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{6}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{e^{6 u}}{6}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{6 u}}{36}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 u e^{6 u}}{3} - \frac{e^{6 u}}{9}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{2 x^{6} \log{\left(x \right)}}{3} - \frac{x^{6}}{9}$

   Método #2

   1. Usamos la integración por partes:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      que $u{\left(x \right)} = \log{\left(x \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = 4 x^{5}$.

      Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x}$.

      Para buscar $v{\left(x \right)}$:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 4 x^{5}\, dx = 4 \int x^{5}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 x^{6}}{3}$

      Ahora resolvemos podintegral.

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{2 x^{5}}{3}\, dx = \frac{2 \int x^{5}\, dx}{3}$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x^{6}}{9}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{x^{6} \left(6 \log{\left(x \right)} - 1\right)}{9}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{x^{6} \left(6 \log{\left(x \right)} - 1\right)}{9}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{x^{6} \left(6 \log{\left(x \right)} - 1\right)}{9}+ \mathrm{constant}$