Integral de (x^(1/3))*ln(x) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \sqrt[3]{x}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ y ponemos $3 du$:

      $\int 3 u^{3} \log{\left(u^{3} \right)}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int u^{3} \log{\left(u^{3} \right)}\, du = 3 \int u^{3} \log{\left(u^{3} \right)}\, du$

         1. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(u \right)} = \log{\left(u^{3} \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = u^{3}$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = \frac{3}{u}$.

            Para buscar $v{\left(u \right)}$:

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}$

            Ahora resolvemos podintegral.

         2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{3 u^{3}}{4}\, du = \frac{3 \int u^{3}\, du}{4}$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3 u^{4}}{16}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3 u^{4} \log{\left(u^{3} \right)}}{4} - \frac{9 u^{4}}{16}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{3 x^{\frac{4}{3}} \log{\left(x \right)}}{4} - \frac{9 x^{\frac{4}{3}}}{16}$

   Método #2

   1. Usamos la integración por partes:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      que $u{\left(x \right)} = \log{\left(x \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sqrt[3]{x}$.

      Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x}$.

      Para buscar $v{\left(x \right)}$:

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int \sqrt[3]{x}\, dx = \frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4}$

      Ahora resolvemos podintegral.

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{3 \sqrt[3]{x}}{4}\, dx = \frac{3 \int \sqrt[3]{x}\, dx}{4}$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int \sqrt[3]{x}\, dx = \frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{9 x^{\frac{4}{3}}}{16}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{3 x^{\frac{4}{3}} \left(4 \log{\left(x \right)} - 3\right)}{16}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{3 x^{\frac{4}{3}} \left(4 \log{\left(x \right)} - 3\right)}{16}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{3 x^{\frac{4}{3}} \left(4 \log{\left(x \right)} - 3\right)}{16}+ \mathrm{constant}$