Integral de ln(1/x) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \frac{1}{x}$.

      Luego que $du = - \frac{dx}{x^{2}}$ y ponemos $- du$:

      $\int \left(- \frac{\log{\left(u \right)}}{u^{2}}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{\log{\left(u \right)}}{u^{2}}\, du = - \int \frac{\log{\left(u \right)}}{u^{2}}\, du$

         1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

            Método #1

            1. que $u = \log{\left(u \right)}$.

               Luego que $du = \frac{du}{u}$ y ponemos $du$:

               $\int u e^{- u}\, du$

               1. que $u = - u$.

                  Luego que $du = - du$ y ponemos $du$:

                  $\int u e^{u}\, du$

                  1. Usamos la integración por partes:

                     $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

                     que $u{\left(u \right)} = u$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

                     Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1$.

                     Para buscar $v{\left(u \right)}$:

                     1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                        $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                     Ahora resolvemos podintegral.

                  2. La integral de la función exponencial es la mesma.

                     $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $- u e^{- u} - e^{- u}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $- \frac{\log{\left(u \right)}}{u} - \frac{1}{u}$

            Método #2

            1. Usamos la integración por partes:

               $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

               que $u{\left(u \right)} = \log{\left(u \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = \frac{1}{u^{2}}$.

               Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = \frac{1}{u}$.

               Para buscar $v{\left(u \right)}$:

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$

               Ahora resolvemos podintegral.

            2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- \frac{1}{u^{2}}\right)\, du = - \int \frac{1}{u^{2}}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{1}{u}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u \right)}}{u} + \frac{1}{u}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- x \log{\left(x \right)} + x$

   Método #2

   1. Usamos la integración por partes:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      que $u{\left(x \right)} = \log{\left(\frac{1}{x} \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = 1$.

      Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = - \frac{1}{x}$.

      Para buscar $v{\left(x \right)}$:

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 1\, dx = x$

      Ahora resolvemos podintegral.

   2. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

      $\int \left(-1\right)\, dx = - x$

2. Ahora simplificar:

   $x \left(1 - \log{\left(x \right)}\right)$

3. Añadimos la constante de integración:

   $x \left(1 - \log{\left(x \right)}\right)+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$x \left(1 - \log{\left(x \right)}\right)+ \mathrm{constant}$