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Resolución de integrales/ (1/x)/ ln(1/x)

Integral de ln(1/x) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1          
  /          
 |           
 |     /1\   
 |  log|-| dx
 |     \x/   
 |           
/            
0
∫01log⁡(1x) dx\int\limits_{0}^{1} \log{\left(\frac{1}{x} \right)}\, dx 
Integral(log(1/x), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. que u=1xu = \frac{1}{x}.

      Luego que du=−dxx2du = - \frac{dx}{x^{2}} y ponemos −du- du:

      ∫(−log⁡(u)u2) du\int \left(- \frac{\log{\left(u \right)}}{u^{2}}\right)\, du

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫log⁡(u)u2 du=−∫log⁡(u)u2 du\int \frac{\log{\left(u \right)}}{u^{2}}\, du = - \int \frac{\log{\left(u \right)}}{u^{2}}\, du

        1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

          Método #1

          1. que u=log⁡(u)u = \log{\left(u \right)}.

            Luego que du=duudu = \frac{du}{u} y ponemos dudu:

            ∫ue−u du\int u e^{- u}\, du

            1. que u=−uu = - u.

              Luego que du=−dudu = - du y ponemos dudu:

              ∫ueu du\int u e^{u}\, du

              1. Usamos la integración por partes:

                ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

                que u(u)=uu{\left(u \right)} = u y que dv⁡(u)=eu\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}.

                Entonces du⁡(u)=1\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1.

                Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

                1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

                Ahora resolvemos podintegral.

              2. La integral de la función exponencial es la mesma.

                ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

              Si ahora sustituir uu más en:

              −ue−u−e−u- u e^{- u} - e^{- u}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −log⁡(u)u−1u- \frac{\log{\left(u \right)}}{u} - \frac{1}{u}

          Método #2

          1. Usamos la integración por partes:

            ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

            que u(u)=log⁡(u)u{\left(u \right)} = \log{\left(u \right)} y que dv⁡(u)=1u2\operatorname{dv}{\left(u \right)} = \frac{1}{u^{2}}.

            Entonces du⁡(u)=1u\operatorname{du}{\left(u \right)} = \frac{1}{u}.

            Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫1u2 du=−1u\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}

            Ahora resolvemos podintegral.

          2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫(−1u2) du=−∫1u2 du\int \left(- \frac{1}{u^{2}}\right)\, du = - \int \frac{1}{u^{2}}\, du

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫1u2 du=−1u\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}

            Por lo tanto, el resultado es: 1u\frac{1}{u}

        Por lo tanto, el resultado es: log⁡(u)u+1u\frac{\log{\left(u \right)}}{u} + \frac{1}{u}

      Si ahora sustituir uu más en:

      −xlog⁡(x)+x- x \log{\left(x \right)} + x

    Método #2

    1. Usamos la integración por partes:

      ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      que u(x)=log⁡(1x)u{\left(x \right)} = \log{\left(\frac{1}{x} \right)} y que dv⁡(x)=1\operatorname{dv}{\left(x \right)} = 1.

      Entonces du⁡(x)=−1x\operatorname{du}{\left(x \right)} = - \frac{1}{x}.

      Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

        ∫1 dx=x\int 1\, dx = x

      Ahora resolvemos podintegral.

    2. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

      ∫(−1) dx=−x\int \left(-1\right)\, dx = - x

  2. Ahora simplificar:

    x(1−log⁡(x))x \left(1 - \log{\left(x \right)}\right)

  3. Añadimos la constante de integración:

    x(1−log⁡(x))+constantx \left(1 - \log{\left(x \right)}\right)+ \mathrm{constant}

Respuesta:

x(1−log⁡(x))+constantx \left(1 - \log{\left(x \right)}\right)+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                            
 |                             
 |    /1\                      
 | log|-| dx = C + x - x*log(x)
 |    \x/                      
 |                             
/
∫log⁡(1x) dx=C−xlog⁡(x)+x\int \log{\left(\frac{1}{x} \right)}\, dx = C - x \log{\left(x \right)} + x
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.90010
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
1
11 
=
= 
1
11 
1
Respuesta numérica [src] 
1.0
1.0

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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