Integral de lnx/x(1+lnx) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \log{\left(x \right)}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{x}$ y ponemos $du$:

      $\int \left(u^{2} + u\right)\, du$

      1. Integramos término a término:

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

         El resultado es: $\frac{u^{3}}{3} + \frac{u^{2}}{2}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\log{\left(x \right)}^{3}}{3} + \frac{\log{\left(x \right)}^{2}}{2}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{\log{\left(x \right)}}{x} \left(\log{\left(x \right)} + 1\right) = \frac{\log{\left(x \right)}^{2} + \log{\left(x \right)}}{x}$

   2. que $u = \frac{1}{x}$.

      Luego que $du = - \frac{dx}{x^{2}}$ y ponemos $- du$:

      $\int \left(- \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2} + \log{\left(\frac{1}{u} \right)}}{u}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2} + \log{\left(\frac{1}{u} \right)}}{u}\, du = - \int \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2} + \log{\left(\frac{1}{u} \right)}}{u}\, du$

         1. que $u = \log{\left(\frac{1}{u} \right)}$.

            Luego que $du = - \frac{du}{u}$ y ponemos $du$:

            $\int \left(- u^{2} - u\right)\, du$

            1. Integramos término a término:

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \left(- u^{2}\right)\, du = - \int u^{2}\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{3}}{3}$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \left(- u\right)\, du = - \int u\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{2}}{2}$

               El resultado es: $- \frac{u^{3}}{3} - \frac{u^{2}}{2}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{3}}{3} - \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{3}}{3} + \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2}}{2}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\log{\left(x \right)}^{3}}{3} + \frac{\log{\left(x \right)}^{2}}{2}$

   Método #3

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{\log{\left(x \right)}}{x} \left(\log{\left(x \right)} + 1\right) = \frac{\log{\left(x \right)}^{2}}{x} + \frac{\log{\left(x \right)}}{x}$

   2. Integramos término a término:

      1. que $u = \frac{1}{x}$.

         Luego que $du = - \frac{dx}{x^{2}}$ y ponemos $- du$:

         $\int \left(- \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2}}{u}\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2}}{u}\, du = - \int \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2}}{u}\, du$

            1. que $u = \log{\left(\frac{1}{u} \right)}$.

               Luego que $du = - \frac{du}{u}$ y ponemos $- du$:

               $\int \left(- u^{2}\right)\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int u^{2}\, du = - \int u^{2}\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{3}}{3}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $- \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{3}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{3}}{3}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{\log{\left(x \right)}^{3}}{3}$

      1. que $u = \log{\left(x \right)}$.

         Luego que $du = \frac{dx}{x}$ y ponemos $du$:

         $\int u\, du$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{\log{\left(x \right)}^{2}}{2}$

      El resultado es: $\frac{\log{\left(x \right)}^{3}}{3} + \frac{\log{\left(x \right)}^{2}}{2}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{\left(2 \log{\left(x \right)} + 3\right) \log{\left(x \right)}^{2}}{6}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\left(2 \log{\left(x \right)} + 3\right) \log{\left(x \right)}^{2}}{6}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\left(2 \log{\left(x \right)} + 3\right) \log{\left(x \right)}^{2}}{6}+ \mathrm{constant}$