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Resolución de integrales/ (4x+1)/ 1/(4x+1)((4x+1)^0.5-10)

Integral de 1/(4x+1)((4x+1)^0.5-10) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                    
  /                    
 |                     
 |    _________        
 |  \/ 4*x + 1  - 10   
 |  ---------------- dx
 |      4*x + 1        
 |                     
/                      
0
∫014x+1−104x+1 dx\int\limits_{0}^{1} \frac{\sqrt{4 x + 1} - 10}{4 x + 1}\, dx 
Integral((sqrt(4*x + 1) - 10)/(4*x + 1), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. que u=4x+1u = 4 x + 1.

      Luego que du=4dxdu = 4 dx y ponemos du4\frac{du}{4}:

      ∫u−104u du\int \frac{\sqrt{u} - 10}{4 u}\, du

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫u−10u du=∫u−10u du4\int \frac{\sqrt{u} - 10}{u}\, du = \frac{\int \frac{\sqrt{u} - 10}{u}\, du}{4}

        1. que u=1uu = \frac{1}{u}.

          Luego que du=−duu2du = - \frac{du}{u^{2}} y ponemos −du- du:

          ∫(−1u−10u) du\int \left(- \frac{\sqrt{\frac{1}{u}} - 10}{u}\right)\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫1u−10u du=−∫1u−10u du\int \frac{\sqrt{\frac{1}{u}} - 10}{u}\, du = - \int \frac{\sqrt{\frac{1}{u}} - 10}{u}\, du

            1. que u=1uu = \sqrt{\frac{1}{u}}.

              Luego que du=−1udu2udu = - \frac{\sqrt{\frac{1}{u}} du}{2 u} y ponemos −du- du:

              ∫(−2u−20u) du\int \left(- \frac{2 u - 20}{u}\right)\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫2u−20u du=−∫2u−20u du\int \frac{2 u - 20}{u}\, du = - \int \frac{2 u - 20}{u}\, du

                1. que u=2uu = 2 u.

                  Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos dudu:

                  ∫u−20u du\int \frac{u - 20}{u}\, du

                  1. Vuelva a escribir el integrando:

                    u−20u=1−20u\frac{u - 20}{u} = 1 - \frac{20}{u}

                  2. Integramos término a término:

                    1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                      ∫1 du=u\int 1\, du = u

                    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                      ∫(−20u) du=−20∫1u du\int \left(- \frac{20}{u}\right)\, du = - 20 \int \frac{1}{u}\, du

                      1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

                      Por lo tanto, el resultado es: −20log⁡(u)- 20 \log{\left(u \right)}

                    El resultado es: u−20log⁡(u)u - 20 \log{\left(u \right)}

                  Si ahora sustituir uu más en:

                  2u−20log⁡(2u)2 u - 20 \log{\left(2 u \right)}

                Por lo tanto, el resultado es: −2u+20log⁡(2u)- 2 u + 20 \log{\left(2 u \right)}

              Si ahora sustituir uu más en:

              −21u+20log⁡(21u)- 2 \sqrt{\frac{1}{u}} + 20 \log{\left(2 \sqrt{\frac{1}{u}} \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: 21u−20log⁡(21u)2 \sqrt{\frac{1}{u}} - 20 \log{\left(2 \sqrt{\frac{1}{u}} \right)}

          Si ahora sustituir uu más en:

          2u−20log⁡(2u)2 \sqrt{u} - 20 \log{\left(2 \sqrt{u} \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: u2−5log⁡(2u)\frac{\sqrt{u}}{2} - 5 \log{\left(2 \sqrt{u} \right)}

      Si ahora sustituir uu más en:

      4x+12−5log⁡(24x+1)\frac{\sqrt{4 x + 1}}{2} - 5 \log{\left(2 \sqrt{4 x + 1} \right)}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      4x+1−104x+1=−104x+1+14x+1\frac{\sqrt{4 x + 1} - 10}{4 x + 1} = - \frac{10}{4 x + 1} + \frac{1}{\sqrt{4 x + 1}}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−104x+1) dx=−10∫14x+1 dx\int \left(- \frac{10}{4 x + 1}\right)\, dx = - 10 \int \frac{1}{4 x + 1}\, dx

        1. que u=4x+1u = 4 x + 1.

          Luego que du=4dxdu = 4 dx y ponemos du4\frac{du}{4}:

          ∫14u du\int \frac{1}{4 u}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫1u du=∫1u du4\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{4}

            1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

            Por lo tanto, el resultado es: log⁡(u)4\frac{\log{\left(u \right)}}{4}

          Si ahora sustituir uu más en:

          log⁡(4x+1)4\frac{\log{\left(4 x + 1 \right)}}{4}

        Por lo tanto, el resultado es: −5log⁡(4x+1)2- \frac{5 \log{\left(4 x + 1 \right)}}{2}

      1. que u=4x+1u = 4 x + 1.

        Luego que du=4dxdu = 4 dx y ponemos du4\frac{du}{4}:

        ∫14u du\int \frac{1}{4 \sqrt{u}}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫1u du=∫1u du4\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = \frac{\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du}{4}

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫1u du=2u\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = 2 \sqrt{u}

          Por lo tanto, el resultado es: u2\frac{\sqrt{u}}{2}

        Si ahora sustituir uu más en:

        4x+12\frac{\sqrt{4 x + 1}}{2}

      El resultado es: 4x+12−5log⁡(4x+1)2\frac{\sqrt{4 x + 1}}{2} - \frac{5 \log{\left(4 x + 1 \right)}}{2}

  2. Ahora simplificar:

    4x+12−5log⁡(24x+1)\frac{\sqrt{4 x + 1}}{2} - 5 \log{\left(2 \sqrt{4 x + 1} \right)}

  3. Añadimos la constante de integración:

    4x+12−5log⁡(24x+1)+constant\frac{\sqrt{4 x + 1}}{2} - 5 \log{\left(2 \sqrt{4 x + 1} \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

4x+12−5log⁡(24x+1)+constant\frac{\sqrt{4 x + 1}}{2} - 5 \log{\left(2 \sqrt{4 x + 1} \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                            
 |                                                             
 |   _________                 _________                       
 | \/ 4*x + 1  - 10          \/ 4*x + 1         /    _________\
 | ---------------- dx = C + ----------- - 5*log\2*\/ 4*x + 1 /
 |     4*x + 1                    2                            
 |                                                             
/
∫4x+1−104x+1 dx=C+4x+12−5log⁡(24x+1)\int \frac{\sqrt{4 x + 1} - 10}{4 x + 1}\, dx = C + \frac{\sqrt{4 x + 1}}{2} - 5 \log{\left(2 \sqrt{4 x + 1} \right)}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.90-1010
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
        ___           
  1   \/ 5    5*log(5)
- - + ----- - --------
  2     2        2
−5log⁡(5)2−12+52- \frac{5 \log{\left(5 \right)}}{2} - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} 
=
= 
        ___           
  1   \/ 5    5*log(5)
- - + ----- - --------
  2     2        2
−5log⁡(5)2−12+52- \frac{5 \log{\left(5 \right)}}{2} - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} 
-1/2 + sqrt(5)/2 - 5*log(5)/2
Respuesta numérica [src] 
-3.40556079233536
-3.40556079233536

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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