Integral de 1/(4x+1)((4x+1)^0.5-10) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = 4 x + 1$.

      Luego que $du = 4 dx$ y ponemos $\frac{du}{4}$:

      $\int \frac{\sqrt{u} - 10}{4 u}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{\sqrt{u} - 10}{u}\, du = \frac{\int \frac{\sqrt{u} - 10}{u}\, du}{4}$

         1. que $u = \frac{1}{u}$.

            Luego que $du = - \frac{du}{u^{2}}$ y ponemos $- du$:

            $\int \left(- \frac{\sqrt{\frac{1}{u}} - 10}{u}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{\sqrt{\frac{1}{u}} - 10}{u}\, du = - \int \frac{\sqrt{\frac{1}{u}} - 10}{u}\, du$

               1. que $u = \sqrt{\frac{1}{u}}$.

                  Luego que $du = - \frac{\sqrt{\frac{1}{u}} du}{2 u}$ y ponemos $- du$:

                  $\int \left(- \frac{2 u - 20}{u}\right)\, du$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \frac{2 u - 20}{u}\, du = - \int \frac{2 u - 20}{u}\, du$

                     1. que $u = 2 u$.

                        Luego que $du = 2 du$ y ponemos $du$:

                        $\int \frac{u - 20}{u}\, du$

                        1. Vuelva a escribir el integrando:

                           $\frac{u - 20}{u} = 1 - \frac{20}{u}$

                        2. Integramos término a término:

                           1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                              $\int 1\, du = u$

                           1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                              $\int \left(- \frac{20}{u}\right)\, du = - 20 \int \frac{1}{u}\, du$

                              1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                              Por lo tanto, el resultado es: $- 20 \log{\left(u \right)}$

                           El resultado es: $u - 20 \log{\left(u \right)}$

                        Si ahora sustituir $u$ más en:

                        $2 u - 20 \log{\left(2 u \right)}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $- 2 u + 20 \log{\left(2 u \right)}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $- 2 \sqrt{\frac{1}{u}} + 20 \log{\left(2 \sqrt{\frac{1}{u}} \right)}$

               Por lo tanto, el resultado es: $2 \sqrt{\frac{1}{u}} - 20 \log{\left(2 \sqrt{\frac{1}{u}} \right)}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $2 \sqrt{u} - 20 \log{\left(2 \sqrt{u} \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sqrt{u}}{2} - 5 \log{\left(2 \sqrt{u} \right)}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\sqrt{4 x + 1}}{2} - 5 \log{\left(2 \sqrt{4 x + 1} \right)}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{\sqrt{4 x + 1} - 10}{4 x + 1} = - \frac{10}{4 x + 1} + \frac{1}{\sqrt{4 x + 1}}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{10}{4 x + 1}\right)\, dx = - 10 \int \frac{1}{4 x + 1}\, dx$

         1. que $u = 4 x + 1$.

            Luego que $du = 4 dx$ y ponemos $\frac{du}{4}$:

            $\int \frac{1}{4 u}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{4}$

               1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u \right)}}{4}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\log{\left(4 x + 1 \right)}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{5 \log{\left(4 x + 1 \right)}}{2}$

      1. que $u = 4 x + 1$.

         Luego que $du = 4 dx$ y ponemos $\frac{du}{4}$:

         $\int \frac{1}{4 \sqrt{u}}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = \frac{\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du}{4}$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = 2 \sqrt{u}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sqrt{u}}{2}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{\sqrt{4 x + 1}}{2}$

      El resultado es: $\frac{\sqrt{4 x + 1}}{2} - \frac{5 \log{\left(4 x + 1 \right)}}{2}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{\sqrt{4 x + 1}}{2} - 5 \log{\left(2 \sqrt{4 x + 1} \right)}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\sqrt{4 x + 1}}{2} - 5 \log{\left(2 \sqrt{4 x + 1} \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\sqrt{4 x + 1}}{2} - 5 \log{\left(2 \sqrt{4 x + 1} \right)}+ \mathrm{constant}$