Integral de x^(2/3)*ln(x) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = x^{\frac{2}{3}}$.

      Luego que $du = \frac{2 dx}{3 \sqrt[3]{x}}$ y ponemos $\frac{3 du}{2}$:

      $\int \frac{3 u^{\frac{3}{2}} \log{\left(u^{\frac{3}{2}} \right)}}{2}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int u^{\frac{3}{2}} \log{\left(u^{\frac{3}{2}} \right)}\, du = \frac{3 \int u^{\frac{3}{2}} \log{\left(u^{\frac{3}{2}} \right)}\, du}{2}$

         1. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(u \right)} = \log{\left(u^{\frac{3}{2}} \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = u^{\frac{3}{2}}$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = \frac{3}{2 u}$.

            Para buscar $v{\left(u \right)}$:

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{\frac{3}{2}}\, du = \frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5}$

            Ahora resolvemos podintegral.

         2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{3 u^{\frac{3}{2}}}{5}\, du = \frac{3 \int u^{\frac{3}{2}}\, du}{5}$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{\frac{3}{2}}\, du = \frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{6 u^{\frac{5}{2}}}{25}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3 u^{\frac{5}{2}} \log{\left(u^{\frac{3}{2}} \right)}}{5} - \frac{9 u^{\frac{5}{2}}}{25}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{3 x^{\frac{5}{3}} \log{\left(x \right)}}{5} - \frac{9 x^{\frac{5}{3}}}{25}$

   Método #2

   1. Usamos la integración por partes:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      que $u{\left(x \right)} = \log{\left(x \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = x^{\frac{2}{3}}$.

      Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x}$.

      Para buscar $v{\left(x \right)}$:

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{\frac{2}{3}}\, dx = \frac{3 x^{\frac{5}{3}}}{5}$

      Ahora resolvemos podintegral.

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{5}\, dx = \frac{3 \int x^{\frac{2}{3}}\, dx}{5}$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{\frac{2}{3}}\, dx = \frac{3 x^{\frac{5}{3}}}{5}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{9 x^{\frac{5}{3}}}{25}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{3 x^{\frac{5}{3}} \left(5 \log{\left(x \right)} - 3\right)}{25}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{3 x^{\frac{5}{3}} \left(5 \log{\left(x \right)} - 3\right)}{25}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{3 x^{\frac{5}{3}} \left(5 \log{\left(x \right)} - 3\right)}{25}+ \mathrm{constant}$